Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) –x³ + 3x² – 3x + 1

b) 8 – 12x + 6x² – x³

*Lời giải:

a) –x³ + 3x² – 3x + 1

= (–x)³ + 3.(–x)².1 + 3.(–x).1 + 1³

= (–x + 1)³ (Áp dụng HĐT (4) với A = –x và B = 1)

b) 8 – 12x + 6x² – x³

= 2³ – 3.2².x + 3.2.x² – x³

= (2 – x)³ (Áp dụng HĐT (5) với A = 2 và B = x)

Hằng đẳng thức cần nhớ:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ (4)

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³ (5)

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B)

*Lý thuyết nắm thêm

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

Ví dụ 1:

(x + 3)² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9.

(2a + b)² = (2a)² + 2.2a.b + b² = 4a² + 4ab + b².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

Ví dụ 2:

${\left(y-\frac{1}{4}\right)}^2$$=y^2-2.y.\frac{1}{4}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2$$=y^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}$

(3x – y)² = (3x)² – 2.3x.y + y² = 9x² – 6xy + y².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

1. Tổng hai lập phương

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

Chú ý: A² – AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

Ví dụ 1:

x³ + 4³ = (x + 4)(x² – 4x + 4²) = (x + 4)(x² – 4x + 16)

$$\begin{gathered} \frac{1}{27}+u^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3+u^3 \\ =\left(\frac{1}{3}+u\right)\left[{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}u+u^2\right] \\ =\left(\frac{1}{3}+u\right)\left(\frac{1}{9}-\frac{u}{3}+u^2\right) \end{gathered}$$

2. Hiệu hai lập phương

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm + Bài Tập) – Toán 8