1500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 16)

Câu 1: Tính tổng: A = 1 + 2 + 3 + ... + 100.

Lời giải:

Số số hạng của A là:

(100 – 1) + 1 = 100 (số)

Tổng A là:

(100 + 1) × 100 : 2 = 5 050

Đáp số: 5 050.

Câu 2: Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4 m, còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m. Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.

Lời giải:

Đỉnh G có tọa độ (0; 4) ⇒ a² . 0 + b . 0 + c = 4 ⇒ c = 4

Điểm E có tọa độ (2; 3) ⇒ a² . 2 + b . 2 + 4 = 3 ⇔ 4a + 2b = – 1 (1)

Điểm F có tọa độ (– 2; 3) ⇒ a² . (– 2) + b . (– 2) + 4 = 3 ⇔ 4a – 2b = – 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a = – 0,25; b = 0. 

Do đó, parabol có dạng y = – 0,25x² + 4. 

Điểm A và B có tung độ y = 0 ⇔ – 0,25 . x² + 4 = 0 ⇔ x = 4 hoặc x = – 4.

Suy ra điểm B có tọa độ (4; 0) và điểm A có tọa độ (– 4; 0).

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là 8.

Câu 3: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B₁, đựng cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.

- Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B₁, 1 hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.

- Cách thứ hai cắt được 2 hộp B₁, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm.

Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B₁ tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1 000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?

Lời giải:

Gọi x là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất.

Gọi y là số tấm bìa cắt theo cách thứ hai.

Theo đề bài, ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 6x+y=900\\ 3x+2y\ge 900\\ x+3y\ge 1000\end{array}\right.$

Để tổng số bìa phải dùng là ít nhất

⇒ T = x + y đạt giá trị nhỏ nhất.

Vẽ d₁: 6x + y = 900

Vẽ d₂: 3x + 2y = 900

Vẽ d₃: x + 3y = 1 000

Miền nghiệm của hệ là đoạn thẳng AB, trong đó:

A = d₂ ∩ d₃ ⇒ A(100; 300)

B = d₁ ∩ Oy ⇒ B(0; 900)

Tại A(100; 300) ⇒ T = 400

Tại B(0; 900) ⇒ T = 900

⇒ T đạt GTNN là 400 tại A(100; 300)

Vậy cần cắt tấm bìa theo 100 cách thứ nhất và 300 cách thứ hai để tổng số bìa phải dùng là ít nhất.

Câu 4: Tìm x, biết:

a) 2 – 25x² = 0;

b) x² – x + $\frac{1}{4}$ = 0.

Lời giải:

a) Cách 1: 2 – 25x² = 0

⇔ 25x² = 2

⇔ x² = $\frac{2}{25}$

⇔ x = $\frac{\sqrt{2}}{5}$ hoặc x = $-\frac{\sqrt{2}}{5}$.

Cách 2: 2 – 25x² = 0

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là x = $\frac{\sqrt{2}}{5}$ hoặc x = $-\frac{\sqrt{2}}{5}$.

b) x² – x + $\frac{1}{4}$ = 0

Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh và O là điểm bất kì. Chứng minh $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB nên ta có:

Vậy $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$ (đpcm).

Câu 6: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho?

Lời giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AB hay MN // AP, MN // BP.

Do đó, các vectơ khác vectơ – không cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ là:

$\overrightarrow{NM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{BP},\overrightarrow{PB}$.

Câu 7: Cho hai tập hợp A = [– 1; 3], B = [m; m + 5]. Tìm m để A giao B khác rỗng.

Lời giải:

Để A ∩ B = ∅ thì $\left[\begin{array}{l}m+5<-1\\ m>3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m<-6\\ m>3\end{array}\right.$.

Do đó, để A ∩ B ≠ ∅ thì – 6 ≤ m ≤ 3.

Câu 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a³ + b³ + c³ = 3abc.

Lời giải:

Ta có: a³ + b³ + c³ – 3abc = (a³ + b³) + c³ – 3abc

= (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ – 3abc

= [(a + b)³ + c³] – [3ab(a + b) – 3abc]

= (a + b + c)[(a + b)² – (a + b)c + c²] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc)

Mà a + b + c = 0 nên suy ra a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

Suy ra a³ + b³ + c³ = 3abc (đpcm).

Câu 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ + 10x² + 25x – xy².

Lời giải:

Ta có: x³ + 10x² + 25x – xy²

= x(x² + 10x + 25 – y²)

= x[(x + 5)² – y²]

= x(x + 5 – y)(x + 5 + y).

Câu 10: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 2x+y=3\left(m+2\right)\end{array}\right.$(1), m là tham số.

a) Giải hệ (1) với m = 2.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x² + y², trong đó (x; y) là nghiệm duy nhất của hệ (1).

Lời giải:

a)

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2y=3-2\\ 2x+y=3\left(2+2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ 2x+y=12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-4y=2\\ 2x+y=12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y=12\\ 5y=10\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+y=12\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x=12-y\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x=12-2\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}\right.\end{array}$

Vậy khi m = 2 thì nghiệm của hệ phương trình là cặp số (5; 2)

b)

Với mọi m, ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 2x+y=3\left(m+2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-4y=6-2m\\ 2x+y=3m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 5y=(3m+6)-(6-2m)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 5y=5m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2m=2-m\\ y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2+m\\ y=m\end{array}\right.\end{array}$

Do đó, với mọi tham số m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là cặp số (2 + m; m)

c)

Cặp số (x; y) = (2 + m; m) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

Xét A ta có:

A = x² + y²

= (2 + m)² + m²

= 4 + 4m + m² + m²

= 2m² + 4m + 4

= 2(m² + 2m + 2)

= 2(m² + 2m + 1 + 1)

= 2(m² + 2m + 1) + 2

= 2(m+1)² + 2

Ta có: (m + 1)² ≥ 0 với mọi số thực m

⇔ 2(m+1)²  ≥ 0 với mọi số thực m

⇔ 2(m+1)² + 2 ≥ 2 với mọi số thực m

Hay A ≥ 2 với mọi số thực m

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A = 2.

Dấu “=” xảy ra ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = –1.

Câu 11: Tính (a – b – c)³.

Lời giải:

(a – b – c)³ = [(a – b) – c]³ = (a – b)³ – 3(a – b)² + 3(a–b).c² – c³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ – 3(a² – 2ab + b²) + 3ac² – 3bc² – c³

= a³ – b³ – c³ – 3a²b + 3ab² + 3ac² – 3bc² – 3a²– 3b² + 6ab

Câu 12: Cho đường tròn (O; R), dây AB khác đường kính. Vẽ về hai phía của AB các dây AC, AD. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B đến AC và AD. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, H, B, K thuộc cùng một đường tròn;

b) HK < 2R.

Lời giải:

a)

Xét tam giác AHB vuông tại H

Có:  $\widehat{AHB}=90°$

Do đó, tam giác AHB nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Hay A, H, B nằm trên đường tròn đường kính AB (1)

Xét tam giác AKB vuông tại K có:

$\widehat{AKB}=90°$

Do đó, tam giác AKB nội tiếp đường tròn đường kính AB

Hay A, K, B nằm trên đường tròn đường kính AB (2)

Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, H, K, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

b)

Xét đường tròn đường kính AB

Gọi I là trung điểm của AB

Ta có HK là dây cung không đi qua I 

⇒ HK < AB (1)

Xét đường tròn (O; R) có:

AB là dây cung không đi qua tâm O

⇒  AB < 2R (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra HK < 2R

Câu 13: Một đội công nhân có 18 người nhận sửa xong 1 quãng đường trong 20 ngày. Hỏi muốn làm xong trong 12 ngày thì cần thêm bao nhiêu người ?

Lời giải:

Muốn công việc đó làm xong trong 1 ngày thì cần số người là:

18 × 20 = 360 (người)

Muốn công việc đó làm xong trong 12 ngày thì cần số người là:

360 : 12 = 30 (người)

Đội công nhân đó cần thêm số người là:

30 – 18 = 12 (người)

Đáp số: 12 người.

Câu 14: Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là

A. trung điểm của chiều dài.               

B. trung điểm của chiều rộng.

C. một đỉnh của hình chữ nhật. 

D. giao điểm hai đường chéo.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D. Giao điểm của hai đường chéo

Vì: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường,mà trung điểm đó tương đương với trung điểm cạnh huyền chung của hai tam giác vuông được tạo bởi hai đường chéo của hình chữ nhật.

Câu 15: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) xy + xz – 5z – 5y

b) x + y – x² – xy

c) x² – xy – 7x + 7y

d) ax² + cx² – ay + ay² – cy + cy²

Lời giải:

a) xy + xz – 5z – 5y

= (xy – 5y) + (xz – 5z)

= y(x – 5) + z(x – 5)

= (5 – z)(y + z)

b) x + y – x² – xy

= (x – x²) + (y – xy)

= x(1 – x) + y(1 – x)

= (1 – x)(x + y)

c) x² – xy – 7x + 7y

= (x² – 7x) – (xy – 7y)

= x(x – 7) – y(x – 7)

= (x – 7)(x – y)

d) ax² + cx² – ay + ay² – cy + cy²

= (ax² + cx²) – (ay + cy) + (ay² + cy²)

= x²(a + c) – y(a + c) + y²(a + c)

= (a + c)(x² – y + y²)

Câu 16: Tìm a để đa thức x⁴ – x³ + 6x² – x + a chia hết cho đa thức x² – x + 5.

Lời giải:

Ta có:

Để có phép chia hết thì số dư phải bằng 0.

Ta có: a – 5 = 0 hay a = 5.

Câu 17: Cho các số x, y thỏa mãn: 2x+3y=13. Tính GTNN của Q= x² + y²

Lời giải:

2x + 3y = 13

$\Rightarrow y=\frac{13-2x}{3}$

Ta có:

$\begin{array}{l}Q=x^2+y^2=x^2+{\left(\frac{13-2x}{3}\right)}^2=x^2+{\left(\frac{13}{3}-\frac{2}{3}x\right)}^2\\ =x^2+\frac{169}{9}-\frac{52}{9}x+\frac{4}{9}{x}^2=\frac{13}{9}{x}^2-\frac{52}{9}x+\frac{169}{9}\\ =\frac{13}{9}\left(x^2-4x+13\right)=\frac{13}{9}\left(x^2-4x+4+9\right)=\frac{13}{9}{\left(x-2\right)}^2+13\end{array}$

Mà:  (x – 2)² ≥ 0 với mọi số thực x

⇒ $\frac{13}{9}{\left(x-2\right)}^2$≥ 0 với mọi số thực x

⇒ $\frac{13}{9}{\left(x-2\right)}^2+13$ ≥ 13 với mọi số thực x

⇒ Q ≥ 13 với mọi số thực x

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 13.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 2 = 0 ⇒ x = 2

Câu 18: Tìm các giá trị x; y nguyên dương sao cho x² = y² + 2y + 13

Lời giải:

Có:x² = y² + 2y + 13

⇒ x² =(y² + 2y + 1) + 12

⇒ x² = (y+1)² + 12

⇒ x² – (y+1) ² = 12

⇒ (x – y – 1)(x + y + 1) = 12

vì x, y là các số nguyên dương

⇒ x – y – 1 < x + y + 1

Xét các trường hợp

TH1: x – y – 1 = 1 và x + y + 1 = 12

⇒  x – y = 2 và x + y = 11

⇒  x = 6,5 và y = 4,5 (Loại vì x,y là các số nguyên dương)

TH2: x – y – 1 = 2 và x + y + 1 = 6

⇒ x – y = 3 và x + y = 5

⇒  x = 4 và y = 1 (Thỏa mãn)

TH3: x – y – 1 = 3 và x + y + 1 = 4

⇒ x – y = 4 và x + y = 3(Loại vì x – y < x + y)

Vậy x = 4,  y = 1

Câu 19: Cho tam giác ABC. Chứng minh: $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Mà:

Từ đó, ta có:

$\begin{array}{l}\cot A+\cot B+\cot C\\ =\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}\\ =\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{a}{2R}}+\frac{\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}{\frac{a}{2R}}+\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{\frac{a}{2R}}\\ =\frac{R}{abc}\left(b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2\right)\\ =\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\end{array}$

Câu 20: Một tấm vải dài 36m. Lần đầu người ta cắt ra 16 mảnh vải , mỗi mảnh vải dài $1\frac{1}{5}$ m, lần thứ hai người ta cắt được 6 mảnh vải dài như nhau thì vừa hết tấm vải. Hỏi mỗi mảnh vải cắt ra ở lần 2 dài bao nhiêu mét ?

Lời giải:

16 mảnh vài có độ dài là:

$1\frac{1}{5}x16=\mathrm{19,2}$ (m)

Số mét vải còn lại sau lần cắt đầu tiên là:

36 – 19,2 = 16,8 (m)

Mỗi mảnh vải cắt ra ở lần 2 dài là:

16,8 : 6 = 2,8 (m)

Đáp số: 2,8 mét

Câu 21: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn ?

Lời giải:

Ta gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là $\overline{ab}$ với

a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và b ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Tập hợp chữ số tự nhiên chẵn:

A = {0; 2; 4; 6; 8} có 5 phần tử.

Chữ số a có 4 cách chọn. (a ≠ 0; a ϵ A)

Chữ số b có 5 cách chọn. (b ϵ A)

Vậy số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn có:

4.5 = 20 (số)

Câu 22: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\left\{\begin{array}{l}mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}(m+1)x-2y=m-1\\ m^{2}x-y=m^2+2m\end{array}\right.$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ 2x+m.\frac{m+1-mx}{2}=2m-1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ 4x+m^2+m-m^{2}x=4m-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ x(m^2-4)=m^2-3m+2\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ x(m-1)(m+2)=(m-2)(m-1)(*)\end{array}\right.\end{array}$

Nếu m = 2 thì (*) ⇔ 0.x = 0, phương trình này có vô số nghiệm

Nếu m = –2 thì (*) ⇔ 0.x = 12, phương trình này vô nghiệm

Nếu  m ≠ 2 và m ≠ –2 thì (*) ⇔ $x=\frac{m-1}{m+2}$. Thay trở lại để tìm ra $y=\frac{m+1-mx}{2}=\frac{2m+1}{m+2}$

Nhu vậy trong trường họp này hệ có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m-1}{m+2}=1-\frac{3}{m+2}\\ y=\frac{2m+1}{m+2}=2-\frac{3}{m+2}\end{array}\right.$

Và ta cần tìm m ∈ ℤ sao cho x, y ∈ ℤ 

Ta có: Để x ∈ ℤ  thì $\frac{3}{m+2}$ ∈ ℤ  ⇔ m + 2 ∈ {1; –1; 3; –3} ⇔ m ∈ {–1; –3; 1; –5}

Các giá trị này đều thỏa mãn m ≠ 2 và m ≠ –2

Vậy m ∈ {–1; –3; 1; –5}

Câu 23: Tìm nghiệm của phương trình: sinx + $\sqrt{3}$cosx = 1

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\\ \iff \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\\ \iff cos\frac{\pi }{3}\sin x+\sin \frac{\pi }{3}\cos x=\frac{1}{2}\\ \iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.k\in \mathbb{Z}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.k\in \mathbb{Z}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $D=\left\{-\frac{\pi }{6}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 24: Chứng minh rằng với mọi góc α $\left(0°\le \alpha \le 180°\right)$ ta đều có cos²a + sin²a = 1.

Lời giải:

Vẽ đường tròn lượng giác (O; 1)

Với mọi α $\left(0°\le \alpha \le 180°\right)$ ta đều có điểm M(x₀; y₀) thuộc nửa đường tròn sao cho $\widehat{MOx}=\alpha$ 

Khi đó ta có: sin α = y₀ ; cos α = x₀

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có: x₀² + y₀² = OM² = 1 hay cos²a + sin²a = 1.

Câu 25: Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng. Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng ?

Lời giải:

Làm vòng tay mỗi giờ được 10 ngàn đồng

Làm vòng đeo cổ mỗi giờ được $\frac{40}{3}\approx$13 ngàn đồng

Vậy làm vòng đeo cổ có lợi hơn nên ưu tiên làm tối đa số vòng cổ trước.

Làm 4 vòng đeo cổ hết 4.6 = 24 giờ, bán được 4.80 = 320 ngàn đồng.

Để làm được ít nhất 400 ngàn đồng cần làm thêm vòng tay để thu về 80 ngàn đồng hay cần làm thêm 2 cái vòng tay ⇒ cần thêm 2.4 = 8 giờ

Vậy cần tối thiểu: 24 + 8 = 32 giờ một tuần để An bán được ít nhất 400 ngàn đồng.

Câu 26: Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng khi nào? Hai hình đối xứng qua một đường thẳng khi nào?

Lời giải:

– Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

– Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

Câu 27: Tìm số hữu tỉ x để phân thức $\frac{10}{x^2+1}$ có giá trị là số nguyên.

Lời giải:

Đặt $\frac{10}{x^2+1}$ = k với k ∈ ℤ

Ta có: kx² + k = 10

Nên $x^2=\frac{10-k}{k}$

Ta phải có $\frac{10-k}{k}\ge 0$ nên 0 ≤ k ≤ 10

Ta có bảng sau:

Vậy $x\in \left\{\pm 3;\pm 2;\pm 1;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{1}{3};0\right\}$

Câu 28: Giải phương trình sau: $2\sin 2x+\sqrt{2}\sin 4x=0$

Lời giải:

$\begin{array}{l}2\sin 2x+\sqrt{2}\sin 4x=0\\ \iff 2\sin 2x+2\sqrt{2}\sin 2x.\cos 2x=0\\ \iff 2\sin 2x\left(1+\sqrt{2}.cos2x\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\sin 2x=0\\ 1+\sqrt{2}.cos2x=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\sin 2x=0\\ cos2x=\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}2x=k\pi \\ 2x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{2}\\ x=\pm \frac{3\pi }{8}+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{k\frac{\pi }{2};\pm \frac{3\pi }{8}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 29: Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{a.\cos A+b.\cos B+c.\cos C}{a+b+c}=\frac{1}{2}$ (A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

$\begin{array}{l}\frac{a.\cos A+b.\cos B+c.\cos C}{a+b+c}=\frac{1}{2}\iff \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\sin A+\sin B+\sin C\\ \iff \sin A.\sin B.\sin C=cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}\\ \iff 8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}=1\\ \iff 4\sin \frac{A}{2}\left(cos\frac{B-C}{2}-cos\frac{B+C}{2}\right)=1\iff 4{\sin }^2\frac{A}{2}-4cos\frac{B-C}{2}.\sin \frac{A}{2}+1=0\\ \iff {\left(2\sin \frac{A}{2}-cos\frac{B-C}{2}\right)}^2+1-co{s}^2\frac{B-C}{2}=0\\ \iff \left\{\begin{array}{l}cos\frac{B-C}{2}=1\\ \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}B=C\\ A=\frac{\pi }{3}\end{array}\right.\end{array}$

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (có hai góc ở đáy bằng nhau và 1 góc bằng 60^o)

Câu 30: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình $\sqrt{2}cos3x=\sin x+\cos x$.

Lời giải:

$\sqrt{2}cos3x=\sin x+\cos x$

$\begin{array}{l}\iff cos3x=\cos x\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{16}+l\frac{\pi }{2}\end{array}\right.\left(k,l\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Với x ∈ (0; 2π) ta có:

$\left[\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{8};x=\frac{15\pi }{8}\\ x=\frac{\pi }{16};x=\frac{9\pi }{16};x=\frac{17\pi }{16};x=\frac{25\pi }{16}\end{array}\right.$

Vậy tổng cần tìm là: S = 6π

Câu 31: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho số tạo thành nhất định phải có mặt chữ số 1, các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất 1 lần và không có số nào có 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau?

Lời giải:

Chọn 3 chữ số từ 9 số đã cho và xếp theo thứ tự thành hàng ngang ta có ${\text{A}}_8^3$  cách xếp

Khi đó ta có 4 vị trí có thể xếp số 1, đó là 2 khoảng trống giữa 3 chữ số trên và hai đầu

Xếp số 1 vào ba trong 4 vị trí nói trên có $C_4^3$  cách xếp

Suy ra trường hợp 2 có ${\text{A}}_8^3.C_4^3$  cách xếp

Vậy có ${\text{A}}_8^5.C_6^1+{\text{A}}_8^4.C_5^2+{\text{A}}_8^3.C_4^3$  = 58 464 số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 32: Cho tập hợp K = {5;6;7;8}. Viết các tập hợp con của K sao cho các phần tử của nó có ít nhất 1 số chẵn, 1 số lẻ.

Lời giải:

Ta có các tập hợp con của K sao cho các phần tử của nó có ít nhất 1 số chẵn, 1 số lẻ là: {5; 6}, {7; 6}, {7; 8}, {5; 8}, {5; 6; 7}, {6; 7; 8}, {5; 6; 7; 8}

Câu 33: Tính chiều cao của một cột tháp, biết rằng lúc mặt trời ở độ cao 50° (nghĩa là tia sáng của mặt trời tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc bằng 50°) thì bóng của nó trên mặt đất dài 96m.

Lời giải:

Giả sử AH là cột tháp, HB là bóng của nó trên mặt đất ở lúc mặt trời chiếu góc 50°

Khi đó ΔAHB vuông tại H và  $\widehat{ABH}=50°$, BH = 96 m

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB ta có:

AH = BH . tan 50° ≈ 114,4 m

Vậy chiều cao của cột tháp là 114,4 m.

Câu 34: Một đại lý có a sản phẩm. Nếu đại lý bán cho 83 cửa hàng thì mỗi cửa hàng có 1988 sản phẩm. Khi viết dấu phẩy ngay sau chữ số hàng nghìn của a thì đc số thập phân b. Số thập phân b có phần nguyên là ?

Lời giải:

Số sản phẩm đại lý có là:

83 x 1 988 = 165 004 (sản phẩm)

Suy ra a = 165 004

Do đó b = 165,004

Vậy phần nguyên của b là 165.

Câu 35: Một trường học có số học sinh xếp hàng 13, 17 lần lượt dư 4 em và 9 em, xếp hàng 5 thì vừa đủ. Tìm số học sinh của trường biết rằng số học sinh vào khoảng 2500 đến 3000 học sinh.

Lời giải:

Gọi x là số học sinh của trường đó ( x ∈ N*, 2500 < x < 3000)

Nếu xếp hàng 13 dư 4 em nên x = 13a + 4 (a ∈ N )

Nếu xếp hàng 17 dư 9 em nên x = 17b + 9 (b ∈ N)

Nếu xếp hàng 5 thì vừa đủ nên x = 5c (c ∈ N)

Ta có: 170x + 715x + 221x = 170(13a + 4) + 715(17b + 9) + 221 . 5c

⇔ 1 106x = 2 210a + 680 + 12 155b + 6 435 + 1 105c

⇔ 1 106x = 2 210a + 12 155b + 1 105c + 7 115

⇔ 1 106x = 1 105(2a + 11b + c) + 7 115

⇔ x = 1 105(2a + 11b + c – x) + 7 115

Đặt 2a + 11b + c – x = t (t ∈ Z)

Vì 2500 < x < 3000 nên 2500 < 1 105t + 7115 < 3000

⇔ – 4615 < 1105t < – 4115

⇔ –4,2 < t < –3,7

Mà t ∈ Z nên t = – 4

Suy ra x = 1105 . (– 4) + 7 115 = 2 695

Vậy số học sinh của trường đó là 2 695 học sinh.

Câu 36: Chọn đáp án đúng:

Phân tích x³ – y³, ta được kết quả:

A. (x + y)(x – y)²

B. (x – y)(x² + xy + y²)

C. (x + y)(x² –  xy + y²)

D. (x – y)(x² + 2xy + y²)

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có : x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 37: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x – 3cos x.

Lời giải:

Ta có y = 2sin x – 3cos x

Phương trình có nghiệm ⇔ 2² + (– 3)² ≥ y ²

⇔ 13 ≥ y ²

⇔ $-\sqrt{13}\le y\le \sqrt{13}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $-\sqrt{13}$ , giá trị lớn nhất của y là $\sqrt{13}$ .

Câu 38: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=\frac{2\mathrm{s}\text{inx}+3}{\text{cosx }-\text{ 4 }}$ .

Lời giải:

Ta có $y=\frac{2\mathrm{s}\text{inx}+3}{\text{cosx }-\text{ 4 }}$

⇔ y cos x – 4y = 2 sin x + 3

⇔ y cos x – 2 sinx = 4y + 3

Phương trình có nghiệm ⇔ y² + (– 2)² ≥ (4y + 3)²

⇔ y² + 4 ≥ 16y² + 24y + 9

⇔ 15y² + 24y + 5 ≤ 0

⇔ $\frac{-12-\sqrt{69}}{15}$  ≤ y ≤ $\frac{-12+\sqrt{69}}{15}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $\frac{-12-\sqrt{69}}{15}$ , giá trị lớn nhất của y là $\frac{-12+\sqrt{69}}{15}$ .

Câu 39: Một nhóm 4 đường thẳng song song cắt một nhóm 5 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

A. 20

B. 60

C. 12

D. 126.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và 22 đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 44 đường thẳng song song có $C_4^2=6$ cách

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 55 đường thẳng song song có  $C_5^2=10$ cách

Suy ra có tất cả 6 . 10 = 60 hình bình hành được tạo thành

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 40: Cho 5 đường thẳng song song với nhau và 4 đường thẳng khác song song, cắt 3 đường thẳng cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành tạo nên bởi các giao điểm của các đường thẳng này.

Lời giải:

Mỗi hình bình hành được tạo thành từ 2 đường thằng song song này vời 2 đường thằng song song kia 

Mỗi cách chọn 2 trong 9 đường thằng song song là 1 tổ hợp chập 2 của 9 phần tử

Suy ra số cách chọn là $C_9^2$

Mỗi cách chọn 2 trong 10 đường thằng song song còn là 1 tổ hợp chập 2 của 10 phần tử

Suy ra  số cách chọn là $C_{10}^2$

Vậy có tất cả $C_9^2.C_{10}^2=1620$  hình bình hành.

Câu 41: Cho tam giác ABC có $BC=\sqrt{6}$ , AC = 2 và $AB=\sqrt{3}+1$ . Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có $p=\frac{AB+BC+CA}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+1}{2}$ .

Theo công thức Heron, ta có:

$S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-BC\right)\left(p-AC\right)}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

$R=\frac{AB.BC.CA}{4S}=\sqrt{2}$.

Câu 42: Tam giác ABC có $AB=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},BC=\sqrt{3},CA=\sqrt{2}$. Gọi D là chân đường phân giác trong $\widehat{A}$ . Khi đó $\widehat{ADB}$  bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

Theo định lí hàm Cosin ta có:

• $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=120°\Rightarrow \widehat{BAD}=60°$

• $\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB.BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=45°$

Tam giác ABD có:

$\widehat{BAD}=60°;\widehat{ABD}=45°\Rightarrow \widehat{ADB}=180°-60°-45°=75°$

Câu 43: Cho tam giác ABC có h_b + h_c = 2h_a. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2}{\sin A}$

Lời giải:

Ta có h_b + h_c = 2h_a

$$\begin{gathered} \iff \frac{2.S_{ABC}}{b}+\frac{2.S_{ABC}}{c}=\frac{4.S_{ABC}}{a} \\ \iff \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{a} \end{gathered}$$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2R}{b}+\frac{2R}{c}=2R\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2R.\frac{2}{a}=\frac{2}{\sin A}$

Vậy $\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2}{\sin A}$ (đpcm).

Câu 44: Trong tam giác ABC, nếu có 2h_a​ = h_b ​+ h_c​ thì:

A. $\frac{2}{\sin A}=\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}$ ;

B. 2sin A = sin B + sin C;

C. sin A = 2sin B + 2sin C;

D. $\frac{2}{\sin A}=\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}$ .

Lời giải:

2h_a​ = h_b ​+ h_c​ 

$$\begin{gathered} \iff \frac{4.S_{ABC}}{a}=\frac{2.S_{ABC}}{b}+\frac{2.S_{ABC}}{c} \\ \iff \frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \end{gathered}$$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2R}{b}+\frac{2R}{c}=2R\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2R.\frac{2}{a}=\frac{2}{\sin A}$

Vậy $\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2}{\sin A}$

Vậy nếu có 2h_a​ = h_b ​+ h_c​ thì: $\frac{2}{\sin A}=\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 45: Cho phương trình x² − 4x − m² − 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ sao cho biểu thức x₂ = −5x₁.

Lời giải:

x² − 4x − m² − 1 = 0

Ta có ∆' = 4 + m² + 1 = 5 + m²

Vì m² ≥ 0 Þ m² + 5 > 0; ∀m

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂

Theo định lí Viét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1.x_2=-m^2-1\left(*\right)\end{array}\right.$

Ta có: x₂ = −5x₁

Û 4 − x₁ = −5x₁

Û 4 = −4x₁

Û x₁ = −1

Þ x₂ = (−5).(−1) = 5

Thay x₁, x₂ vào (*) ta được:

(−1).5 = − m² − 1

Û − m² − 1 = −5

Û m² = 4 Û m = ±2

Vậy m = ±2 là giá trị của tham số m cần tìm.

Câu 46: Cho phương trình x² − 4x − m² − 1 = 0.

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tính giá trị của A = x₁² + x₂² biết 2x₁ + 3x₂ = 13.

Lời giải:

a) x² − 4x − m² − 1 = 0

Ta có ∆' = 4 + m² + 1 = 5 + m²

Vì m² ≥ 0 Þ m² + 5 > 0; ∀m

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂.

b) Theo Viét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1.x_2=-m^2-1\left(*\right)\end{array}\right.$

Ta có: 2x₁ + 3x₂ = 13

Û 2x₁ + 3(4 − x₁) = 13

Û 2x₁ + 12 − 3x₁ = 13

Û −x₁ − 1 = 0

Û x₁ = −1

Þ x₂ = 4 − (−1) = 5.

Khi đó A = x₁² + x₂² = (−1)² + 5² = 26.

Câu 47: Cho phương trình x² + mx − 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn |x₁| + |x₂| = 4.

Lời giải:

x² + mx − 3 = 0

Þ ∆' = m² + 12 > 0, ∀m Î ℝ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Áp dụng định lí Ta-lét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ x_1.x_2=-3\end{array}\right.$

Khi đó: |x₁| + |x₂| = 4

Û (|x₁| + |x₂|)² = 16

Û x₁² + x₂² + 2|x₁.x₂| = 16

Û (x₁ + x₂)² − 2x₁.x₂ + 2|x₁.x₂| = 16

Û (−m)² − 2.(−3) +2.|−3| = 16

Û m² = 4 Û m = ±2.

Vậy m = ±2 là giá trị của tham số m cần tìm.

Câu 48: Tìm m để phương trình x² + mx + m − 2 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ − x₂| = 2.

Lời giải:

 x² + mx + m − 2 = 0

Þ ∆' = m² − m + 2 $={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ , ∀m Î ℝ.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Áp dụng định lí Ta-lét, ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ x_1.x_2=m-2\end{array}\right.$

Khi đó: |x₁ − x₂| = 2

Û |x₁ − x₂|² = 4

Û x₁² + x₂² − 2x₁.x₂ = 4

Û (x₁ + x₂)² − 2x₁.x₂ − 2x₁.x₂ = 4

Û (x₁ + x₂)² − 4x₁.x₂ = 4

Û (−m)² − 4.(m − 2) = 4

Û m² − 4m + 8 − 4 = 0

Û m² − 4m + 4 = 0

Û (m − 2)² = 0 Û m = 2.

Vậy m = 2 là giá trị của tham số m cần tìm.

Câu 49: Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 2 cm. Lấy điểm O trên a và vẽ đường tròn (O; 2 cm). Chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng b

Lời giải:

Vì tâm O của đường tròn (O; 2 cm) thuộc đường thẳng a và a // b.

Suy ra đường thẳng a cách đường thẳng b một khoảng 2 cm.

 Do đó (O; 2 cm) tiếp xúc với b.

Câu 50: Một bản đồ có tỉ lệ xích 1 : 1 000 000. Khoảng cách giữa hai địa điểm trên bản đồ là 5 cm. Tính khoảng cách giữa hai địa điểm đó trên thực tế (km).

Lời giải:

Ta có bản đồ tỉ lệ 1 : 1 000 000 và khoảng cách giữa địa điểm trên bản đồ là 5 cm.

Nên khoảng cách giữa hai địa điểm đó trên thực tế là:

$5:\frac{1}{1000000}=5000000$(cm)

Đổi: 5 000 000 cm = 50 km.

Đáp số: 50 km.

Câu 51: Trên bản đồ tỉ lệ 1 : 1 000 000, khoảng cách giữa hai thành phố A và B đo được 12,8 cm. Hỏi khoảng cách thức tế giữa hai thành phố là bao nhiêu ki-lô-mét?

Lời giải:

Ta có bản đồ tỉ lệ 1 : 1 000 000 và đo được khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 12,8 cm.

Nên khoảng cách thực tế giữa hai thành phố A và B là:

$\mathrm{12,8}:\frac{1}{1000000}=12800000$(cm)

Ta có: 12 800 000 cm = 128 km

Đáp số: 128 km.

Câu 52: Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư là 12. Hỏi a có chia hết cho 4 không? Có chia hết cho 9 không?

Lời giải:

Ta có  dư 12 nên a = 36k + 12

⇒ a = 4(9k + 3) nên a hoàn toàn chia hết cho 4.

Vì 4 không chia hết cho 9 và 9k + 3 chia cho 9 dư 3 hay không chia hết cho 9.

Vậy a không chia kết cho 9.

Câu 53: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.

a) Tam giác ACE vuông cân.

b) Kẻ AH vuông góc với BE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE. Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành.

c) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ANB.

Lời giải:

a) Ta có ABCD là hình vuông nên AB = BC = DC = AD và AC = BD (tính chất các cạnh và đường chéo của hình vuông).

Mà E đối xứng với A qua D nên DE = AD (gt)

⇒ DC = AD = DE.

⇒ ACE là tam giác vuông.

Mặc khác BC =AD = DE và BC // DE.

⇒ Tứ giác DECB là hình bình hành có BD = CE.

Mà BD = AC nền AC = CE

⇒ ACE là tam giác vuông cân.

b) Theo đề ta có:  MA = MH , NH = NE

⇒ MN là đường trung bình của ∆AHE

⇒ MN //AE và $MN=\frac{1}{2}AE$ (1)

Ta có: AD = DE (gt) nên $AD=\frac{1}{2}AE$

Vì ABCD là hình vuông nên AD = BC và AD vuông góc với AB;

nên $BC=\frac{1}{2}AE$ và DE // BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = BC và MN//BC

⇒ Tứ giác BMNC là hình bình hành .

c) Vì BMNC là hình bình hành (câu b) nên NM // BC

ABCD là hình vuông nên CB vuông góc AB

⇒ NM ⊥ AB (đl)

Xét Δ ANB có:

AH ⊥ BN (gt)

NM ⊥ AB(cmt)

AH ∩ NM tại M

⇒ M là trực tâm của ΔANB.

Câu 54: So sánh A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²¹ và B = 2²⁰²².

Lời giải:

Ta có: A = 2 +2²+ 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²¹

$$\begin{gathered} 2A=2^2+2^3+2^4+2^5+\mathrm{...}+2^{2022} \\ \Rightarrow A=2A-A=(2^2+2^3+2^4+2^5+\mathrm{...}+2^{2022})-(2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{...}+2^{2021}) \\ \Rightarrow A=2^{2022}-2<2^{2022} \end{gathered}$$

Câu 55: Cho A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +.....+ 2⁶⁰. Chứng minh rằng A chia hết cho 3.

Lời giải:

Ta có: $A=2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{...}+2^{60}$

$$\begin{gathered} =2(1+2)+\mathrm{...}+2^{59}(1+2) \\ =2.3+\mathrm{...}+2^{59}.3 \end{gathered}$$

$=3.(2+\mathrm{...}+2^{59})$ chia hết cho 3.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 15)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 17)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 18)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 19)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 20)