Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d1 và d2

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 106)

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d₁ và d₂ cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d₁ cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d₂ cắt các cạnh BC và AD ở N và Q.

a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

b/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy chứng minh.

Lời giải:

a/ Ta có ABCD là hình bình hành nên AC cắt BD tại trung điểm O mỗi đường

Nên OA = OC; OB = OD

Mà AB // CD nên $\frac{OM}{OP}=\frac{OA}{OC}=1$

Nên OM = OP hay O là trung điểm MP

Tương tự: O là trung điểm NQ

Vì d₁ vuông góc d₂ tức NQ vuông góc MP

Suy ra: NQ ⊥ MP = O là trung điểm mỗi đường

Vậy MNPQ là hình thoi

b/ Nếu ABCD là hình vuông thì AC ⊥ BD

Suy ra: $\widehat{MOB}={90}^{\circ }-\widehat{BON}=\widehat{NOC}$

Mà OB = OC; $\widehat{OBM}=\widehat{OBA}={45}^{\circ }=\widehat{OCB}=\widehat{OCN}$

Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:

$\widehat{OBM}=\widehat{OCN}$

OB = OC

$\widehat{MOB}=\widehat{NOC}$

Nên: ∆OBM = ∆OCN (g.c.g)

Suy ra: OM = ON

Kết hợp phần a nên MNPQ là hình vuông.