1500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 14)

Câu 1: Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có tất cả 450 học sinh dự thi. Trong số học sinh trường A dự thi có $\frac{3}{4}$  số  học sinh trúng tuyển, còn trong số học sinh trường B dự thi có $\frac{9}{10}$  số  học sinh trúng tuyển. Biết tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường bằng $\frac{4}{5}$  số học sinh dự thi của hai trường. Hãy cho biết số học sinh dự thi của mỗi trường?

Lời giải:

Gọi số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là x và y (x, y ∈ N*; x, y < 450)

Ta có x + y = 450                      (1)

Vì tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường bằng $\frac{4}{5}$  số học sinh dự thi của hai trường nên ta có $\frac{3}{4}x+\frac{9}{10}y=\frac{4}{5}(x+y)=\frac{4}{5}.450=360$                               (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x+y=450\\ \frac{3}{4}\text{x}+\frac{9}{10}y=360\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=450-y\\ 15\text{x}+18y=7200\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=450-y\\ 15(450-y)+18y=7200\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=450-y\\ 6750-15y+18y=7200\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=450-y\\ 3y=450\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ y=150\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy trường A có 300 học sinh dự thi, trường B có 150 học sinh dự thi.

Câu 2: Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có tất cả 750 học sinh dự thi. Trong số học sinh trường A dự thi có 80% số  học sinh trúng tuyển, còn trong số học sinh trường B dự thi có 70% số  học sinh trúng tuyển. Biết tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh. Hãy cho biết số học sinh dự thi của mỗi trường?

Lời giải:

Gọi số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là x và y (x, y ∈ N*; x, y < 750)

Ta có x + y = 750                      (1)

Số học sinh trúng tuyển của trường A là 0,8x (học sinh)

Số học sinh trúng tuyển của trường B là 0,7y (học sinh)

Vì số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh nên ta có phương trình

0,8x + 0,7y = 560                                (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x+y=750\\ \mathrm{0,8}\text{x}+\mathrm{0,7}y=560\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=750-y\\ \mathrm{0,8}(750-y)+\mathrm{0,7}y=560\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=750-y\\ 600-\mathrm{0,8}y+\mathrm{0,7}y=560\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=750-y\\ y=400\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=350\\ y=400\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy trường A có 350 học sinh dự thi, trường B có 400 học sinh dự thi.

Câu 3: Tính nhanh tổng nghịch đảo của các số sau : 30, 42, 56, 72, 90.

Lời giải:

Số nghịch đảo của 30 là $\frac{1}{30}$

Số nghịch đảo của 42 là $\frac{1}{42}$

Số nghịch đảo của 56 là $\frac{1}{56}$

Số nghịch đảo của 72 là $\frac{1}{72}$

Số nghịch đảo của 90 là $\frac{1}{90}$

Tổng các số nghịch đảo là:

Vậy tổng của các số nghịch đảo bằng $\frac{1}{10}$ .

Câu 4: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{CB}$

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C\text{D}}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B\text{D}})$

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B\text{D}}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{CB}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{CB}$ .       

Câu 5: Với hai góc kề bù ta có định lý sau: Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông

Hãy viết giả thiết và kết luận của định lí

Lời giải:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có M nằm trên SC.

a) Tìm giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).

b) N nằm trên BC. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN).

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong (SAC) gọi SO cắt AM tại I

Ta có SO ⊂ (SBD) nên giao điểm của AM và mp (SBD) là I

b) Gọi giao điểm của AN và BD là J

Trong (SBD) gọi giao của IJ và SD là K

Ta có JI ⊂ (AMN) nên giao điểm của SD và (AMN) là K

Vậy giao điểm của SD và (AMN) là K.

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // mp(ABCD);

B. MN // mp(SAB);

C. MN // mp(SCD);

D. MN // mp(SBC).

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Xét tam giác SAC có

M là trung điểm của SA

N là trung điểm của SC

Suy ra MN là đường trung bình

Do đó MN // SA

Ta có :

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 8: Cho tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O và M là một điểm thuộc đường tròn tâm O khi đó độ dài vectơ $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$  = ?

Lời giải:

Tam giác ABC nội tiếp (O) và tam giác ABC đều nên O là trọng tâm tam giác ABC

Vậy $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=a\sqrt{3}.$

Câu 9: Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi km là 10 500 đồng đối với 10 km đầu tiên và 9 200 đồng đối với các km tiếp theo.

a) Hỏi một hành khách thuê xe taxi của hãng đó đi quãng đường 21 km thì phải trả bao nhiêu tiền?

b) Hãy viết hàm số p(x) là số tiền phải trả trong đó x là số km mà hành khách đó đã đi?

Lời giải:

a) Số tiền phải trả cho 10 km đầu tiên là:

10 500 x 10 = 105 000 (đồng)

Số tiền phải trả cho 11 km tiếp theo là:

9 200 x 11 = 101 200 (đồng)

Tổng số tiền khách phải trả khi đi quãng đường 21 km là:

105 000 + 101 200 = 206 200 (đồng)

Vậy số tiền khách phải trả khi đi quãng đường 21 km là 206 200 đồng.

b) Nếu x < 10 thì p(x) = 10 500 . x

Nếu x > 10 thì P(x) = 10 500 x 10 + 9 200 . x = 105 000 + 9 200 . x

Câu 10: Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi km là 6000đ đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các km tiếp theo. 1 hành khách thuê taxi quãng đường x km phải trả số tiền là y nghìn đồng . Khi đó, y là một hàm số của đối số x , xác định với mọi x ≥ 0.  Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và lập bảng biến thiên của nó.

Lời giải:

Khi 0 ≤ x ≤ 10, tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên

Số tiền phải trả là f(x) = 6x (nghìn đồng)

Khi x > 10, tức quãng đường đi trên 10 km

Số tiền phải trả là f(x) = 60 + 2,5(x – 10) = 2,5x + 35

Ta có f(10) = 6 . 10 = 60

f(18) = 2,5 . 18 + 35 = 80

Bảng biến thiên

Đồ thị y = f(x)

Câu 11: Khi viết một số có sáu chữ số, một học sinh đã viết nhầm chữ số 6 ở hàng trăm nghìn thành chữ số 1 và chữ số 1 ở hàng đơn vị thành chữ số 6. Hỏi số đó giảm đi bao nhiêu đơn vị?

Lời giải:

Ta đặt số có 6 chữ số đó là: abcdef

Số đúng là: 6bcde1

Số học sinh viết nhầm là: 1bcde6

Số đó giảm đi số đơn vị là:

6bcde1 - 1bcde6 = 60 000 – 10 000 + 6 – 1 = 50 005 (đơn vị)

Vậy số đó giảm đi 50 005 đơn vị.

Câu 12: Khi viết một số có sáu chữ số, một học sinh đã viết nhầm chữ số 6 ở hàng trăm nghìn thành chữ số 5 và chữ số 5 ở hàng đơn vị thành chữ số 6. Hỏi số đó giảm đi bao nhiêu đơn vị?

Lời giải:

Ta đặt số có 6 chữ số đó là: abcdef

Số đúng là: 6bcde5

Số học sinh viết nhầm là: 5bcde6

Số đó giảm đi số đơn vị là:

6bcde5 - 5bcde6 = 60 000 – 50 000 + 6 – 5 = 10 001 (đơn vị)

Vậy số đó giảm đi 10 001 đơn vị.

Câu 13: Rút gọn biểu thức: $\frac{x-y+3\sqrt{x}+3\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}$ .

Lời giải:

Điều kiện xác định: x ≥ 0, y ≥ 0, $\sqrt{x}-\sqrt{y}\ne -3$

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{x-y+3\sqrt{x}+3\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y}).(\sqrt{x}+\sqrt{y})+3(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3} \\ =\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}).\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+3\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{gathered}$$

Vậy giá trị biểu thức rút gọn bằng $\sqrt{x}+\sqrt{y}$

Câu 14: Tìm các số không âm x,y sao cho biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

$\text{A}=x+y-\sqrt{x-3}.\sqrt{y-2021}$

Lời giải:

Điều kiện xác định: x ≥ 3, y ≥ 2021

Ta có:

Vì ${\left(\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{y-2021}\right)}^2\ge 0$ , $\frac{3}{4}(y-2021)\ge 0$

Nên ${(\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{y-2021})}^2+\frac{3}{4}(y-2021)+2024\ge 2024$

Hay A ≥ 2024

Dấu “ =” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}y-2021=0\\ \sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{y-2021}=0\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}y=2021\\ \sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{y-2021}=0\end{array}\right.$

Nên $\left\{\begin{array}{l}y=2021\\ x=3\end{array}\right.$  (thỏa mãn)

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2024 khi x = 3, y = 2021.

Câu 15: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0.

Lời giải:

Ta có: x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0

⟺ 4x² + 8xy + 28x + 28y + 8y² + 40 = 0

⟺ (4x² + 8xy + 28x + 28y + 4y² + 49) + 4y² - 9 = 0

⟺ (2x + 2y + 7)² + 4y² = 9                  (*)

Vì (2x + 2y + 7)² ≥ 0

Nên 4y² ≤ 9

Suy ra y² ≤ $\frac{9}{4}$

Mà y nguyên nên $y^2\in \left\{0;1\right\}$

Suy ra $y\in \left\{0;1;-1\right\}$

+) Với y = 0, thay vào (*) ta có (2x + 2.0 + 7)² + 4.0 = 9

Hay (2x + 7)²  = 9

Suy ra $\left[\begin{array}{l}2\text{x}+7=3\\ 2\text{x}+7=-3\end{array}\right.$ ⟹ $\left[\begin{array}{l}\text{x}=-2\\ \text{x}=-5\end{array}\right.$

+) Với y = 1, thay vào (*) ta có (2x + 2.1 + 7)² + 4.1² = 9

Hay (2x + 9)² = 5

Suy ra không tìm được x nguyên thỏa mãn.

+) Với y = –1, thay vào (*) ta có (2x – 2.1 + 7)² + 4. (–1)² = 9

Hay (2x + 5)² = 5

Suy ra không tìm được x nguyên thỏa mãn.

Vậy (x; y) = {(-2; 0); (-5; 0)}.

Câu 16: Cho x, y thỏa mãn x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 1.

Lời giải:

Ta có: x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0

⟺ (x² + 2xy + y²) + 7(x + y) + 10 = – y²

⟺ (x + y)² + 2(x + y) + 5(x + y) + 10 = – y²

⟺ (x + y)(x + y + 2) + 5(x + y + 2) = – y²

⟺ (x + y + 2)(x + y + 5) = – y²

Vì – y² ≤ 0

Nên (x + y + 2)( x + y + 5) ≤ 0

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}x+y+2\le 0\\ x+y+5\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y\le -2\\ x+y\ge -5\end{array}\right.$

⇒ – 5 ≤ x + y ≤ – 2

⇒ – 4 ≤ x + y + 1 ≤ – 1

Hay – 4 ≤ S ≤ – 1

Nên S đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi $\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y+5=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-5\end{array}\right.$

S đạt giá trị lớn nhất bằng – 1 khi $\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y+2=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy giá trị lớn nhất của S là – 1 khi x = – 2, y = 0; giá trị nhỏ nhất của S là – 4 khi x = – 5, y = 0.

Câu 17: Cho dãy số (u_n) với u_n = $\frac{a{n}^2}{n+1}$  (a: hằng số); u_n+1 là số hạng nào sau đây ?

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $u_{n+1}=\frac{a{(n+1)}^2}{(n+1)+1}=\frac{a{(n+1)}^2}{n+2}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 18: Cho x ≠ 0, biểu thức nào sau đây có nghĩa?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $x^{\sqrt{2}};x^{-5};x^{-\pi }$  có nghĩa khi x > 0

x^-5 có nghĩa khi x ≠ 0

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 19: Cho x > 0, biểu thức nào sau đây có nghĩa?

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 20: Cho hàm số y = (2m – 3).x + m – 5. Tìm m để đồ thị hàm số:

a) tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân

b) cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oy

c) cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên Ox.

Lời giải:

a) Gọi giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là A

Suy ra $A\left(\frac{5-m}{2m-3};0\right)$  nên OA = $\left|\frac{5-m}{2m-3}\right|$ ; (m ≠ $\frac{3}{2}$ )

Gọi giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là B

Suy ra B(0; m – 5) nên OB = $\left|m-5\right|$

Ta có tam giác AOB vuông tại O.

Để tam giác AOB vuông cân tại O thì OA = OB

Hay $\left|\frac{5-m}{2m-3}\right|$  = $\left|m-5\right|$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\frac{5-m}{2m-3}=m-5\\ \frac{5-m}{2m-3}=5-m\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2m-3=-1\\ 2m-3=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2m=2\\ 2m=4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân

b) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oy

Suy ra giao điểm B(0; m – 5) của đồ thị hàm số đã cho và Oy thuộc đường thẳng y = 3x – 4

Nên m – 5 = 3.0 – 4

Hay m = 1

Vậy m = 1 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oy

c) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên Ox

Suy ra giao điểm $A\left(\frac{5-m}{2m-3};0\right)$  của đồ thị hàm số đã cho và Ox thuộc đường thẳng $y=–x–3$

Nên  $-\frac{5-m}{2m-3}-3=0$

⇔ m – 5 = 3.(2m – 3)

⇔ m – 5 = 6m – 9

⇔  – 5m = – 4

$\iff m=\frac{4}{5}$

Vậy $m=\frac{4}{5}$  thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên Ox.

Câu 21: Cho đồ thị hàm số y = (m – 2)x + m – 1. Tìm m để đồ thị hàm số trên tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Lời giải:

Gọi giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là A

Suy ra $A\left(\frac{1-m}{m-2};0\right)$  nên $OA=\left|\frac{1-m}{m-2}\right|$ ; (m ≠ 2)

Gọi giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là B

Suy ra B(0; m – 1) nên OB = $\left|m-1\right|$

Ta có tam giác AOB vuông tại O. Để tam giác AOB vuông cân tại O thì OA = OB

Hay $\left|\frac{1-m}{m-2}\right|=\left|m-1\right|$ ; (m ≠ 2, m ≠ 1)

 $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\frac{1-m}{m-2}=m-1\\ \frac{1-m}{m-2}=1-m\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m-2=-1\\ m-2=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}\right.$

Mà m ≠ 2, m ≠ 1 nên m = 3

Vậy m = 3 thì đồ thị hàm số tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Câu 22: Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}$

Tính giá trị của biểu thức $P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)$ .

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$$\begin{gathered} \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{(a+b+c)}=2 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=2c\\ b+c=2\text{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ b+c=2\text{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ b+c=2(2c-b)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ b+c=4c-2b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ 3b=3c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ b=c\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-c\\ b=c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=c\\ b=c\end{array}\right.\iff a=b=c \end{gathered}$$

Khi đó P = (1 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 2. 2. 2 = 8

Vậy P = 8.

Câu 23: Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)² = a² + b² + c².

Tính $P=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}$ .

Lời giải:

Ta có (a + b + c)² = a² + b² + c²

⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² + c²

⇔ 2ab + 2bc + 2ac = 0

⇔ ab + bc + ac = 0

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\text{ab = - bc - ac}\\ \text{bc = - ab - ac}\\ \text{ac = - ab - bc}\end{array}\right.$

Thay $\left\{\begin{array}{l}\text{ab = - bc - ac}\\ \text{bc = - ab - ac}\\ \text{ac = - ab - bc}\end{array}\right.$  vào biểu thức P ta có

Vậy P = 1.

Câu 24: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC; gọi E là điểm thuộc CD sao cho ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là:

A. Tam giác MNE.

B. Tứ giác MNEF với F là trung điểm BD.

C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC.

D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra MN // BC

Vì MN // BC, E là điểm chung

Nên giao tuyến của mp(MNE) và mp(BCD) là Ex

Gọi F là giao điểm của Ex và BD

Do đó MN // FE

Suy ra 4 điểm M, N, E, F đồng phẳng và MNEF là hình thang

Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.

Câu 25: Mỗi hộp bút có 12 chiếc bút,mỗi chiếc giá 1 500 đồng.Hỏi mua 35 hộp bút đó thì hết bao nhiêu tiền ? (Giải bằng hai cách)

Lời giải:

Cách 1:

12 chiếc bút có giá là:

12 × 1 500 = 18 000 (đồng)

35 hộp bút có giá là:

35 × 18 000 = 630 000 (đồng)

Cách 2:

35 hộp bút có số bút là:

35 × 12 = 420 (chiếc)

Mua 35 hộp bút hết số tiền là:

420 × 1 500 = 630 000 (đồng)

Vậy mua 35 hộp bút đó hết 630 000 đồng.

Câu 26: Tìm tập xác định D của hàm số $y={\left(x^3–x^2\right)}^{-5}$

A. D = (– ∞; 0) ∪ (1; + ∞).

B. D = ℝ \ {0; 1}.

C. D = ℝ.

D. D = (0; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y={\left(x^3–x^2\right)}^{-5}$  xác định khi và chỉ khi

x³ – x²  ≠ 0

⟺ x² (x – 1) ≠ 0

⟺ $\left\{\begin{array}{l}\text{x }\ne \text{ 0}\\ \text{x }\ne \text{ 1}\end{array}\right.$

Hay D = ℝ ∖ {0; 1}

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 27: Tìm tập xác định của hàm số $y={\left(2x–3\right)}^{-2}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y={\left(2x–3\right)}^{-2}$  xác định khi và chỉ khi 

2x – 3 ≠ 0

$\iff x\ne \frac{3}{2}$

Hay tập xác định của hàm số là $ℝ\backslash \left\{\frac{3}{2}\right\}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 28: Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AC}$

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành

Nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

Ta có $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AC}$ .

Câu 29: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh: $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$ .

Lời giải:

Với ba điểm A, B, C bất kì ta có:

Vậy $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$ .

Câu 30: Tính

a) 372,95 : 3.

b) 757,5 : 35.

c) 431,25 : 125.

d) 35,1 : 15.

Lời giải:

a) 372,95 : 3 = 124,316666666….

b) 757,5 : 35 = 21,6428571…

c) 431,25 : 125 = 3,45.

d) 35,1 : 15 = 2,34.

Câu 31: Tìm a để hai đường thẳng (d₁): y = (a – 1)x + 1 và (d₂): y = (3 – a)x + 2 cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành.

Lời giải:

• Để (d₁): y = (a – 1)x + 1 và (d₂): y = (3 – a)x + 2 cắt nhau thì a – 1 ≠ 3 – a

Û 2a ≠ 4 Û a ≠ 2.

• Để (d₁) cắt trục hoành thì a – 1 ≠ 0 Û a ≠ 1.

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của (d₁) với trục hoành.

Khi đó 0 = (a – 1)x_A + 1

Þ $x_A=\frac{-1}{a-1}$ . Suy ra $A\left(\frac{-1}{a-1};0\right)$ .

• Để (d₂) cắt trục hoành thì 3 – a ≠ 0 Û a ≠ 3.

Gọi B(x_B; 0) là giao điểm của (d₂) với trục hoành.

Khi đó 0 = (3 – a)x_B + 2

Þ $x_B=\frac{-2}{3-a}=\frac{2}{a-3}$ . Suy ra $B\left(\frac{2}{a-3};0\right)$ .

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

$\iff \frac{-1}{a-1}=\frac{2}{a-3}$

Þ ‒1.(a – 3) = 2.(a – 1)

Û ‒a + 3 = 2a – 2

Û ‒3a = ‒5

Û  $a=\frac{5}{3}$ (thỏa mãn).

Vậy $a=\frac{5}{3}$  thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 32: Cho (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.

Lời giải:

• Để (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m cắt nhau thì 2m + 1 ≠ m – 1

Û m ≠ ‒2.

• Để (d₁) cắt trục hoành thì 2m + 1 ≠ 0 Û $m\ne -\frac{1}{2}$ .

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của (d₁) với trục hoành.

Khi đó 0 = (2m + 1)x_A – 2m – 3

Þ $x_A=\frac{2m+3}{2m+1}$ . Suy ra $A\left(\frac{2m+3}{2m+1};0\right)$ .

• Để (d₂) cắt trục hoành thì m – 1 ≠ 0 Û m ≠ 1.

Gọi B(x_B; 0) là giao điểm của (d₂) với trục hoành.

Khi đó 0 = (m – 1)x_B + m

Þ $x_B=\frac{-m}{m-1}$ . Suy ra $B\left(\frac{-m}{m-1};0\right)$ .

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

$\iff \frac{2m+3}{2m+1}=\frac{-m}{m-1}$

Þ (2m + 3).(m – 1) = (2m + 1).(‒m)

Û 2m² + m – 3 = –2m² – m

Û 4m² + 2m – 3 = 0

Û $m=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{4}$  (thỏa mãn).

Vậy $m=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{4}$  thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 33: Trong phép tính 121,23 : 14 và có thương là 8,65 vậy số dư là bao nhiêu?

A. 13;

B. 1,3;

C. 0,13;

D. 0,013.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: Số bị chia = Số chia × Thương + Số dư

Số dư = Số bị chia – Số chia × Thương

          = 121,23 – 14 × 8,65

          = 121,23 – 121,1

          = 0,13.

Câu 34: Tìm số dư của phép chia 121,23 : 14 biết thương lấy đến hai chữ số ở phần thập phân.

Lời giải:

Đặt tính chia: 121,23 : 14 như sau:

$\begin{array}{c}\mathrm{121,23}\\ {}^{}{}^{}92\\ {}^{}{}^{}{}^{}{}^{}83\\ {}^{}{}^{}{}^{}{}^{}13\end{array}\begin{array}{c}14\\ \mathrm{8,65}\\ \\ \end{array}$

Vậy số dư cần tìm là: 0,13.

Câu 35: Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh $\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2.\left(ab-2\right)}{a^2{b}^2+3}$ .

Lời giải:

Với a + b = 1 và ab ≠ 0 ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{a\left(a^3-1\right)+b\left(b^3-1\right)}{\left(a^3-1\right).\left(b^3-1\right)}=\frac{a^4+b^4-\left(a+b\right)}{a^3{b}^3-\left(a^3+b^3\right)+1} \\ =\frac{{\displaystyle \left(a^4+2a^2{b}^2+b^4-2a^2{b}^2\right)-1}}{{\displaystyle a^3{b}^3-\left[{\left(a+b\right)}^3-3ab\left(a+b\right)\right]+1}}=\frac{{\displaystyle {\left(a^2+b^2\right)}^2-2a^2{b}^2-1}}{{\displaystyle a^3{b}^3-1+3ab+1}} \\ =\frac{{\left[{\left(a+b\right)}^2-2ab\right]}^2-2a^2{b}^2-1}{a^3{b}^3+3ab}=\frac{1-4ab+4a^2{b}^2-2a^2{b}^2-1}{ab\left(a^2{b}^2+3\right)} \\ =\frac{{\displaystyle 2a^2{b}^2-4ab}}{{\displaystyle ab\left(a^2{b}^2+3\right)}}=\frac{{\displaystyle 2ab\left(ab-2\right)}}{{\displaystyle ab\left(a^2{b}^2+3\right)}}=\frac{{\displaystyle 2\left(ab-2\right)}}{{\displaystyle a^2{b}^2+3}} \end{gathered}$$

Câu 36: Tính m để 3 điểm thẳng hàng:

a) A(2; 5), B(3; 7), C(2m + 1; m);

b) A(2m; ‒5), B(0; m), C(2; 3);

c) A(3; 7), B(m²; m), C(‒1; ‒1).

Lời giải:

a) Với A(2; 5), B(3; 7), C(2m + 1; m) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(1;2\right)$; $\overrightarrow{BC}=\left(2m-2;m-7\right)$ .

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$  cùng phương

Û 1.(m – 7) = 2.(2m – 2)

Û 3m = ‒3

Û m = ‒1.

b) Với A(2m; ‒5), B(0; m), C(2; 3) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(-2m;m+5\right)$; $\overrightarrow{BC}=\left(2;3-m\right)$ .

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$  cùng phương

Û ‒2m.(3 – m) = (m + 5).2

Û ‒3m + m² = m + 5

Û m² – 4m – 5 = 0

Û $\left[\begin{array}{l}m=5\\ m=-1\end{array}\right.$

c) Với A(3; 7), B(m²; m), C(‒1; ‒1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(-4;-8\right)$; $\overrightarrow{BC}=\left(-1-m^2;-1-m\right)$ .

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$  cùng phương

Û ‒4.(‒1 – m) = ‒8.(‒1 – m²)

Û 1 + m = 2 + 2m²

Û 2m² – m + 1 = 0 (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Câu 37: Tìm m để ba điểm A(2; ‒1), B(1; 1), C(3; m +1) thẳng hàng.

Lời giải:

Giả sử phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B có dạng y = ax + b (d).

Do A(2; ‒1) ∈ (d) nên 2a + b = ‒1

Do B(1; 1) ∈ (d) nên a + b = 1

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2a+b=-1\\ a+b=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ a+b=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=3\end{array}\right.$

Do đó phương trình đường thẳng d là y = ‒2x + 3.

Để ba điểm A, B và C(3; m +1) thẳng hàng thì điểm C(3; m +1) thuộc đường thẳng d.

Do đó m + 1 = ‒2.3 + 3

Û m = ‒4.

Vậy m = ‒4.

Câu 38: Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ khác 0 khi nào?

Lời giải:

Để phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ khác 0 thì:

$\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1.x_2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2-4ac>0\\ \frac{c}{a}\ne 0\end{array}\right.$

Câu 39: Một can nước (tính cả vỏ can) nặng 12 kg. Sau đó người ta đổ bớt $\frac{1}{3}$  số nước ra ngoài. Biết rằng can rỗng nặng 600 g. Hỏi sau khi đổ bớt nước ra ngoài, can nước cân nặng bao nhiêu?

Lời giải:

Đổi 12 kg = 12 000 g.

Không tính vỏ thì can nặng số kg là:

12 000 – 600 = 11 400 (g).

Số nước người ta đổ bớt đi là:

$11400\times \frac{1}{3}=3800\left(g\right)$

Sau khi đổ bớt nước ra ngoài, can nước nặng là:

12 000 – 3 800 = 8 200 (g).

Đáp số: 8 200 gam.

Câu 40: Một can nước (tính cả vỏ can) nặng 12 kg. Sau đó người ta đổ bớt $\frac{1}{3}$  số nước ra ngoài. Biết rằng can rỗng nặng 600 g. Cân nặng của can nước còn lại là bao nhiêu?

A.8 kg;

B. 8,2 kg;

C. 820 dag;

D.800 dag.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Đổi 12 kg = 12 000 g.

Không tính vỏ thì can nặng số kg là:

12 000 – 600 = 11 400 (g).

Số nước người ta đổ bớt đi là:

$11400\times \frac{1}{3}=3800\left(g\right)$

Sau khi đổ bớt nước ra ngoài, can nước nặng là:

12 000 – 3 800 = 8 200 (g) = 8,2 (kg).

Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy, với giá trị nào của m thì đường thẳng D₁: (2m – 1)x + my – 10 = 0 vuông góc với đường thẳng D₂: 3x + 2y + 6 = 0?

A. m = 0;

B. m ∈ ∅;

C. m = 2;

D. $m=\frac{3}{8}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

D₁ ⊥ D₂ khi và chỉ khi (2m – 1).3 + m.2 = 0

Û 6m – 3 + 2m = 0

Û 8m = 3

Û $m=\frac{3}{8}$ .

Câu 42: Viết các ước của 58.

Lời giải:

Ta có: 58 = 2.29

Do đó Ư(58) = {‒58; ‒29; ‒2; ‒1; 1; 2; 29; 58}.

Câu 43: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn nằm cùng phía đối với AB), C là một điểm thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Đường thẳng qua O và vuông góc với AC cắt Ax tại M. Gọi I là giao điểm của MB và CH. Chứng minh rằng CI = IH.

Lời giải:

• Gọi N là giao điểm của BC và Ax.

Vì C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB nên OA = OB = OC

Do đó DABC vuông tại C nên AC ⊥ BC.

Mà OM ⊥ AC (giả thiết) nên OM // BC hay OM // BN.

Xét DABN có OM // BN và O là trung điểm của AB

Do đó M là trung điểm của AN hay AM = MN.

• Do Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ AB

Ta có: CH ⊥ AB, Ax ⊥ AB nên CH // AB.

Xét DABM có IH // AM, theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{IH}{AM}=\frac{BI}{BM}$ .

Xét DMBN có CI // MN, theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{CI}{MN}=\frac{BI}{BM}$ .

Do đó $\frac{IH}{AM}=\frac{CI}{MN}\left(=\frac{BI}{BM}\right)$

Mà AM = MN (chứng minh trên) nên IH = CI.

Vậy CI = IH.

Câu 44: Hình thoi ABCD có diện tích 20 cm² và đường chéo AC bằng 10 cm. Tính độ dài đường chéo BD.

Lời giải:

Diện tích hình thoi ABCD được tính như sau: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD$ .

Độ dài đường chéo BD là: $\frac{20.2}{10}=4\left(cm\right)$ .

Câu 45: Tìm tập xác định của hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{-3x+8}+xkhix<2\\ \sqrt{x+7}+1khix\ge 2\end{array}\right.$ .

Lời giải:

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{-3x+8}+xkhix<2\\ \sqrt{x+7}+1khix\ge 2\end{array}\right.$ .

• Với x < 2 ta có $y=\sqrt{-3x+8}+x$

Hàm số xác định $\iff -3x+8\ge 0\iff x\le \frac{8}{3}$ .

Kết hợp điều kiện x < 2, ta có: x < 2.

Do đó tập xác định của hàm số trong trường hợp này là (–∞; 2).

•  Với x ≥ 2 ta có $y=\sqrt{x+7}+1$ .

Hàm số xác định $\iff x+7\ge 0\iff x\ge -7$

Kết hợp điều kiện x ≥ 2, ta có x ≥ 2

Do đó tập xác định của hàm số trong trường hợp này là [2; +∞).

Vậy kết hợp 2 trường hợp ta có tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Câu 46: Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn $\left(O;\frac{1}{2}BC\right)$  cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E.

a) Chứng minh rằng: CD vuông góc với AB, BE vuông góc với AC.

b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK vuông góc với BC.

Lời giải:

a) Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại D.

Suy ra: CD ⊥ AB.

Tam giác BCE nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại E.

Suy ra: BE ⊥ AC.

b) Xét ∆ABC có K là giao điểm của hai đường cao CD và BE nên K là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra: AK ⊥ BC.

Câu 47: Tìm giá trị của m để hai đồ thị hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành.

Lời giải:

Hai đồ thị hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau Û 2 ≠ 3 (luôn đúng ∀m).

Do đó hai đồ thị đã cho luôn cắt nhau.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

2x + (3 + m) = 3x + (5 – m)

Û 3x – 2x = 3 + m – 5 + m

Û x = 2m – 2

Thay x = 2m – 2 vào y = 2x + (3 + m) ta được:

y = 2(2m – 2) + 3 + m

Û y = 4m – 4 + 3 + m

Û y = 5m – 1.

Do đó tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là (2m – 2; 5m – 1)

Để hai đồ thị hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì 5m – 1 = 0

$\iff m=\frac{1}{5}$.

Vậy giá trị m cần tìm là $m=\frac{1}{5}$ .

Câu 48: Tích của hai số là 625. Nếu gấp thừa số thứ nhất lên 2 lần và gấp thừa số thứ hai lên 3 lần thì tích mới là bao nhiêu?

Lời giải:

Do gấp thừa số thứ nhất lên 2 lần nên tích mới sẽ gấp lên 2 lần.

Do gấp thừa số thứ hai lên 3 lần nên tích mới sẽ gấp lên 3 lần.

Nếu gấp thừa số thứ nhất lên 2 lần và gấp thừa số thứ hai lên 3 lần thì tích mới gấp lên 2 × 3 = 6 lần.

Vậy tích mới là 625 × 6 = 3750.

Câu 49: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2x-1}{\sqrt{x}-2}$ .

Lời giải:

Để hàm số $y=\frac{2x-1}{\sqrt{x}-2}$  xác định thì $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}\ne 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 4\end{array}\right.$ .

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=\left[0;+\infty \right)\backslash \left\{4\right\}$ .

Câu 50: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2x-1}{\sqrt{x-2}}$ .

Lời giải:

Để hàm số $y=\frac{2x-1}{\sqrt{x-2}}$  xác định thì

$\left\{\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ \sqrt{x-2}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right.\iff x-2>0\iff x>2$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (2; +∞).

Câu 51: Không giải phương trình, tìm các nghiệm số của phương trình x³ – 15x² + 71x – 105 = 0, biết rằng các nghiệm số phân biệt và tạo thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Giả sử phương trình x³ – 15x² + 71x – 105 = 0 có ba nghiệm tạo thành cấp số cộng:

a – d; a; a + d (với d ≠ 0).

Khi đó ta có: (a – d)³ – 15(a – d)² + 71(a – d) – 105 = 0          (1)

                      a³ – 15a² + 71a – 105 = 0                                    (2)

                      (a + d)³ – 15(a + d)² + 71(a + d) – 105 = 0          (3)

Từ (1) ta có:

a³ – 3a²d + 3ad² – d³ – 15a² + 30ad – 15d² + 71a – 71d – 105 = 0

Þ – 3a²d + 3ad² – d³ + 30ad – 15d² – 71d = 0 (do a³ – 15a² + 71a – 105 = 0) (*)

Tương tự từ (3) ta có: 3a²d + 3ad² + d³ – 30ad – 15d² + 71d = 0  (**)

Cộng (*) với (**) ta được:

6ad² – 30d² = 0 Û 6d²(a – 5) = 0

Vì d ≠ 0 nên ta có a – 5 = 0 Û a = 5.

Vì a = 5 là một nghiệm của phương trình đã cho nên vế trái của phương trình chia hết cho (x – 5).

Do đó theo sơ đồ Horner ta có:

x³ – 15x² + 71x – 105 = 0

Û (x – 5)(x² – 10x + 21) = 0

Û (x – 5)(x² – 10x + 21) = 0

Û (x – 5)(x – 3)(x – 7) = 0

Û x = 3 hoặc x = 5 hoặc x = 7.

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: $S=\left\{3;5;7\right\}$ .

Câu 52: Cho hàm số y = 2x² – 3x – 5 (1). Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) thỏa mãn $2x_1^2+2x_2^2=3x_1{x}_2+7$

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = 4x + m là:

2x² – 3x – 5 = 4x + m

Û 2x² – 7x – 5 – m = 0 (*)

Để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Û D > 0

Û (–7)² – 4.2.(– 5 – m) > 0

Û 49 + 40 + 8m > 0

$\iff m>\frac{-89}{8}$.

Khi đó, theo hệ thức Viet ta có:   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{7}{2}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-m-5}{2}\end{array}\right.$

Theo bài,  $2x_1^2+2x_2^2=3x_1{x}_2+7$

$$\begin{gathered} \iff 2\left(x_1^2+x_2^2\right)-3x_1{x}_2=7 \\ \iff 2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]-3x_1{x}_2=7 \\ \iff 2{\left(x_1+x_2\right)}^2-7x_1{x}_2=7 \\ \iff 2\cdot {\left(\frac{7}{2}\right)}^2-7.\frac{-m-5}{2}=7 \\ \iff \frac{49}{2}+\frac{7\left(m+5\right)}{2}=7 \\ \iff 49+7m+35=14 \\ \iff 7m=-70 \end{gathered}$$

$\iff m=-10$ (thỏa mãn)

Vậy m = –10.

Câu 53: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54 cm² và 96 cm². Độ dài BC là

A. 15 cm;

B. 25 cm;

C. 35 cm;

D. 45 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$$\begin{gathered} S_{ABH}=\frac{1}{2}AH.BH=54\Rightarrow AH.BH=108 \\ {S}_{ACH}=\frac{1}{2}AH.CH=96\Rightarrow AH.CH=192 \end{gathered}$$

Þ AH.BH.AH.CH = 108.192 = 20 736

Þ AH².BH.CH = 20 736 (*)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, theo hệ thức lượng ta có:

AH² = BH.CH

Thay vào (*) ta được: AH².AH² = 20 736

Þ AH⁴ = 20 736 = 12⁴

Þ AH = 12 cm.

$\Rightarrow BH=\frac{108}{12}=9\left(cm\right)$ và $CH=\frac{192}{12}=16\left(cm\right)$

Þ BC = BH + CH = 9 + 16 = 25 (cm).

Câu 54: Trong một ngày trường A cần làm 120 cái lồng đèn ông trang trí trường nhân dịp Trung Thu. Biết rằng mỗi bạn nam làm được 2 cái và mỗi bạn nữ làm được 3 cái trong một ngày. Gọi x là số bạn nam, y là số bạn nữ được trường huy động làm.

a) Viết hàm số biểu diễn y theo x.

b) Nếu trường chỉ có thể huy động 15 bạn nam có khả năng làm thì cần huy động thêm bao nhiêu bạn nữ?

Lời giải:

a) Mỗi ngày x bạn nam là được số lồng đèn là: 2x (cái)

Mỗi ngày y bạn nữ làm được số lồng đèn là: 3y (cái).

Tổng số lồng đèn trường A làm được trong một ngày là: 2x + 3y = 120

Þ 3y = 120 – 2x

$\Rightarrow y=\frac{120-2x}{3}=40-\frac{2}{3}x$.

Vậy hàm số biểu diễn y theo x là: $y=40-\frac{2}{3}x$ .

b) Ta có x = 15, thay vào hàm số biểu diễn y theo x là: $y=40-\frac{2}{3}x$  ta được:

$y=40-\frac{2}{3}.15=30$.

Vậy cần huy động 30 nữ.

Câu 55: Cho phương trình x² – (m – 1)x – m = 0, trong đó m là tham số, x là ẩn số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 1.

Lời giải:

Xét phương trình x² – (m – 1)x – m = 0

Có D = [–(m – 1)]² – 4.1.(–m) = m² – 2m + 1 + 4m = m² + 2m + 1 = (m + 1)².

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D > 0

Û (m + 1)² > 0

Û m + 1 ≠ 0

Û m ≠ –1     (1)

Theo định lí Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-1\\ x_1{x}_2=-m\end{array}\right.$

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 1 thì $\left\{\begin{array}{l}{x}_1<1\\ x_2<1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-1<0\\ x_2-1<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-2<0\\ \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m-1-2<0\\ x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ -m-\left(m-1\right)+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ -2m>-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ m<1\end{array}\right.\iff m<1$   (2)

Từ (1) và (2) ta có: m < 1; m ≠ –1.

Vậy m < 1 và m ≠ –1.

Câu 56: Tìm m để ba đường thẳng đồng quy.

Lời giải:

Các bước giải bài toán tìm m để ba đường thẳng đồng quy:

Bước 1: Tìm điều kiện để các đường thẳng cắt nhau.

Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng (hai đường thẳng không chứa m).

Bước 3: Để ba đường thẳng đồng quy thì giao điểm đã tìn được ở Bước 2 phải thỏa mãn khi thay vào phương trình đường thẳng còn lại. Từ đó suy ra giá trị tham số m.

Câu 57: Cho ba đường thẳng y = x + 6 (d₁); y = 3x + 7 (d₂) và y = (2 – m)x + 1 (d₃). Tìm m để (d₁), (d₂) và (d₃­) đồng quy.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d₁) và (d₂) là:

x + 6 = 3x + 7

Û 2x = –1

$\iff x=-\frac{1}{2}$.

Với $x=-\frac{1}{2}$  thì $y=-\frac{1}{2}+6=\frac{11}{2}$ .

Suy ra hai đường thẳng (d₁) và (d₂) cắt nhau tại điểm $A\left(-\frac{1}{2};\frac{11}{2}\right)$ .

Để (d₁), (d₂) và (d₃­) đồng quy thì (d₃) phải đi qua giao điểm $A\left(-\frac{1}{2};\frac{11}{2}\right)$  của (d₁) và (d₂).

Khi đó ta có:

$$\begin{gathered} \frac{11}{2}=\left(2-m\right).\left(-\frac{1}{2}\right)+1 \\ \iff \frac{11}{2}=-1+\frac{1}{2}m+1 \\ \iff \frac{1}{2}m=\frac{11}{2}\iff m=11 \end{gathered}$$

Vậy với m = 11 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Câu 58: Nêu công thức tính số đo góc giữa hai vectơ.

Lời giải:

Công thức tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng: $cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$ .

Câu 59: Chứng minh rằng a³b – ab³ chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b.

Lời giải:

Ta có: a³b – ab³

        = a³b – ab – ab³ + ab

        = ab(a² – 1) – ab(b² – 1)

        = ab(a – 1)(a + 1) – ab(b – 1)(b + 1)

Mà 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên ta có:

(a – 1).a.(a + 1) ⋮ 6 và (b – 1).b.(b + 1) ⋮ 6

Suy ra ab(a – 1)(a + 1) – ab(b – 1)(b + 1) ⋮ 6

Vậy a³b – ab³ chia hết cho 6 với mọi a, b.

Câu 60: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD sao cho AB = 3AM và CD = 2CN. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AN}$  qua các vectơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ .

Lời giải:

Ta có: CD = 2CN và N nằm trên cạnh CD nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ .

Mà ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$

Do đó $\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

Suy ra $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 15)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 16)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 17)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 18)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 19)