1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 67)

1500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 67)

Câu 1: Tìm số nguyên dương n,biết: 16 ≤ 8ⁿ ≤ 64.

Lời giải:

Ta có 16 ≤ 8ⁿ ≤ 64.

Suy ra 2⁴ ≤ (2³)ⁿ ≤ 2⁶.

Do đó 2⁴ ≤ 2³ⁿ ≤ 2⁶.

Vì vậy 4 ≤ 3n ≤ 6.

Suy ra $\frac{4}{3}\le n\le 2$ .

Mà n là số nguyên dương.

Do đó n = 2.

Vậy n = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2: Cho tam giác ABC (AB = AC), trung tuyến BD. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng:

a) AD = AI.

b) BE = 2CI.

c) ∆ABD = ∆ACI.

d) BE = 2BD.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có BD là đường trung tuyến.

Suy ra D là trung điểm AC.

Do đó AC = 2AD            (1)

Lại có I là trung điểm AB (giả thiết).

Suy ra AB = 2AI              (2)

Ta có AB = AC (giả thiết)         (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra 2AD = 2AI.

Vậy AD = AI.

b) Tam giác ABE có C, I lần lượt là trung điểm của AE, AB.

Suy ra CI là đường trung bình của tam giác ABE.

Vậy BE = 2CI.

c) Xét ∆ABD và ∆ACI, có:

AB = AC (giả thiết);

AD = AI (kết quả câu a);

$\widehat{BAC}$ là góc chung.

Vậy ∆ABD = ∆ACI (c.g.c).

d) Ta có BD = CI (∆ABD = ∆ACI).

Mà BE = 2CI (kết quả câu b).

Vậy BE = 2BD.

Câu 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α:

A = (tanα + cotα)² – (tanα – cotα)².

B = sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α.cos²α.

Lời giải:

⦁ A = (tanα + cotα)² – (tanα – cotα)².

= (tanα + cotα – tanα + cotα)(tanα + cotα + tanα – cotα).

= 2cotα.2tanα.

= 4.1 = 4.

⦁ B = sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α.cos²α.

= (sin²α)³ + (cos²α)³ + 3sin²α.cos²α.

= (sin²α + cos²α).(sin⁴α – sin²α.cos²α + cos⁴α) + 3sin²α.cos²α.

= (sin²α + cos²α)² – 2sin²α.cos²α – sin²α.cos²α + 3sin²α.cos²α.

= 1² = 1.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 4: Cho một cái cân có 2 đĩa và một quả cân 1 kg. Làm thế nào để tách 3 kg gạo ra khỏi 5 kg gạo với 1 lần cân duy nhất.

Lời giải:

Cho quả cân 1 kg lên bàn cân, chia 5 kg gạo vào 2 đĩa sao cho cân thăng bằng.

Khi đó bên cân nào không có quả cân 1 kg thì bên cân đó có 3 kg gạo.

Câu 5: Lớp 10A có 35 học sinh thích môn bóng đá, 20 học sinh thích môn bóng chuyền và 15 học sinh thích cả hai môn bóng. Biết học sinh nào cũng thích ít nhất một trong hai môn bóng. Tính số học sinh lớp 10A.

Lời giải:

Số học sinh chỉ thích môn bóng đá là: 35 – 15 = 20 (học sinh).

Số học sinh chỉ thích môn bóng chuyền là: 20 – 15 = 5 (học sinh).

Số học sinh lớp 10A là: 20 + 5 + 15 = 40 (học sinh).

Câu 6: Có tất cả 40 con vừa gà vừa chó. Số chân chó nhiều hơn số chân gà là 16 chân. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Lời giải:

Gọi a (con), b (con) lần lượt là số con chó và số con gà (a, b ∈ ℕ*, a, b < 40).

Theo đề, ta có hệ phương trình: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a+b=40\\ 4a-2b=16\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4a+4b=160\\ 4a-2b=16\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6b=144\\ 2a-b=8\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{l}b=24\\ a=\frac{b+8}{2}=16\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

Vậy có 16 con chó và 24 con gà.

Câu 7: Một trường học bán trú chuẩn bị số gạo cho 120 học sinh ăn trong 40 ngày. Sau khi ăn hết một nửa số gạo đó trường học có thêm một số học sinh mới nên số gạo còn lại chỉ đủ cho ăn trong 12 ngày nữa. Hỏi trường đó thêm bao nhiêu học sinh nữa?

Lời giải:

Sau khi ăn hết một nửa số gạo, số gạo còn lại đủ ăn trong:

40 : 2 = 20 (ngày)

1 học sinh ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là:

120 × 20  = 2 400 (ngày)

Tổng số học sinh ăn số gạo còn lại trong 12 ngày là:

2400 : 12 = 200 (người)

Trường đó có thêm số học sinh là:

200 − 120 = 80 (học sinh)

Đáp số: 80 học sinh.

Câu 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x² – x)² + 5(x² – x) – 14.

Lời giải:

Ta có (x² – x)² + 5(x² – x) – 14

= (x² – x)² – 2(x² – x) + 7(x² – x) – 14

= (x² – x)(x² – x – 2) + 7(x² – x – 2)

= (x² – x – 2)(x² – x + 7).

Câu 9: Số tập con của tập hợp A = {x ∈ ℝ | 3(x² + x)² – 2x² – 2x = 0} là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có 3(x² + x)² – 2x² – 2x = 0.

⇔ 3(x² + x)² – 2(x² + x) = 0.

⇔ (x² + x)[3(x² + x) – 2] = 0.

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}{x}^2+x=0\\ 3x^2+3x-2=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=\frac{-3\pm \sqrt{33}}{6}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì vậy $A=\left\{0;-1;\frac{-3\pm \sqrt{33}}{6}\right\}$ .

Vậy số tập con của tập A là 2³ = 8 tập con.

Câu 10: Trên bản đồ tỉ lệ 1 : 100 000, khoảng cách giữa hai xã trên bản đồ là 12 cm. Trên thực tế hai xã cách nhau bao nhiêu km?

Lời giải:

Đổi: $12cm=\frac{3}{25000}km$ .

Trên thực tế hai xã cách nhau số km là:

$\frac{3}{25000}:\frac{1}{100000}=12$ (km).

Đáp số: 12 km.

Câu 11: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình mx² – (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm.

Lời giải:

Ta có mx² – (3m + 2)x + 1 = 0   (1)

Trường hợp 1: m = 0.

Thế m = 0 vào (1), ta được: $2x+1=0\iff x=-\frac{1}{2}$ .

Suy ra nhận m = 0.

Trường hợp 2: m ≠ 0.

∆ = (3m + 2)² – 4m = 9m² + 12m + 4 – 4m = 9m² + 8m + 4.

$={\left(3m+\frac{4}{3}\right)}^2+\frac{20}{9}\ge \frac{20}{9}>\mathrm{0,}\forall m$.

Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt, với mọi m.

Kết hợp cả 2 trường hợp, ta thu được phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Câu 12: Một sọt cam có quả trong khoảng từ 200 đến 600. Nếu xếp vào mỗi dĩa 6 quả; 10 quả; 12 quả; 14 quả đều vừa đủ. Hỏi trong sọt có mấy quả cam?

Lời giải:

Gọi số quả cam trong sọt là a (a ∈ ℕ*).

Suy ra a ∈ BC(6; 10; 12; 14) và 200 ≤ a ≤ 600.

Ta có 6 = 2.3; 10 = 2.5; 12 = 2².3 và 14 = 2.7.

Suy ra BCNN(6; 10; 12; 14) = 2².3.5.7 = 420.

Khi đó a ∈ BC(420) = {0; 420; 840; ...}.

Vì 200 ≤ a ≤ 600 nên a = 420.

Vậy trong sọt có 420 quả cam.

Câu 13: Rút gọn biểu thức: 2x(x – 4)² – (x + 5)(x – 2)(x + 2) + 2(x + 5)² – (x – 1)².

Lời giải:

Ta có 2x(x – 4)² – (x + 5)(x – 2)(x + 2) + 2(x + 5)² – (x – 1)²

= 2x(x² – 8x + 16) – (x + 5)(x² – 4) + 2(x² + 10x + 25) – (x² – 2x + 1)

= 2x³ – 16x² + 32x – (x³ – 4x + 5x² – 20) + 2x² + 20x + 50 – x² + 2x – 1

= (2x³ – x³) + (–16x² – 5x² + 2x² – x²) + (32x + 4x + 20x + 2x) + (20 + 50 – 1)

= x³ – 20x² + 58x + 69.

Câu 14: Cho biết tích của hai số tự nhiên n và m là 36. Mỗi tích n.(–m) và (–n).(–m) bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Vì tích của hai số tự nhiên n và m là 36 nên n.m = 36.

Ta có:

⦁ n.(–m) = –(n.m) = –36.

⦁ (–n).(–m) = n.m = 36.

Vậy n.(–m) = –36 và (–n).(–m) = 36.

Câu 15: Trong các số thập phân 86,42; 86,422; 686,42; 86,642. Số thập phân lớn nhất là

A. 86,42.

B. 86,422.

C. 686,42.

D. 86,642.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có 86 < 686.

Do đó số có phần nguyên là 686 là số lớn nhất.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 16: Tìm m để parabol (P): y = x² – 2mx + m + 3 có đỉnh nằm trên đường thẳng (d): y = x + 2.

Lời giải:

Cho S là đỉnh của parabol, khi đó:

• $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2m}{2.1}=m$ .

• $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{{\left(-2m\right)}^2-4\left(m+3\right)}{4}=-\frac{4m^2-4m-12}{4}=-m^2+m+3$ .

Do đó $S\left(m;-m^2+m+3\right)$ .

Để S nằm trên (d) thì –m² + m + 3 = m + 2

⇔ m² = 1 ⇔ m = ± 1.

Vậy m = ± 1.

Câu 17: Mua 5 kg đường phải trả 85 000 đồng. Hỏi mua 3,5 kg đường cùng loại phải trả ít hơn bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Mua 1 kg đường phải trả số tiền là:

85 000 : 5 = 17 000 (đồng)

Mua 3,5 kg đường phải trả số tiền là:

17 000 × 3,5 = 59 500 (đồng)

Mua 3,5 kg đường phải trả ít hơn mua 5kg đường cùng loại số tiền là:

85 000 – 59 500 = 25 500 (đồng)

Đáp số: 25 500 đồng.

Câu 18: Chứng minh rằng với mọi số thực b, c, ta có: (b + c)² ≤ 2(b² + c²).

Lời giải:

Ta có (b + c)² ≤ 2(b² + c²).

⇔ b² + 2bc + c² ≤ 2b² + 2c².

⇔ b² – 2bc + c² ≥ 0.

⇔ (b – c)² ≥ 0, luôn đúng với mọi b, c ∈ ℝ.

Dấu “=” xảy ra ⇔ b = c.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 19: Cho a ≠ b ≠ c thỏa mãn a²(b + c) = b²(c + a) = 2012. Tính M = c²(a + b).

Lời giải:

Ta có a²(b + c) = b²(c + a).

⇔ a²b – ab² + a²c – b²c = 0.

⇔ ab(a – b) + c(a² – b²) = 0.

⇔ ab(a – b) + c(a – b)(a + b) = 0.

⇔ (a – b)(ab + ca + bc) = 0 (vì a ≠ b nên a – b ≠ 0).

⇔ ab + bc + ca = 0.

Lại có a²(b + c) = b²(c + a).

$\iff \frac{a^2}{c+a}=\frac{b^2}{b+c}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{a^2}{c+a}=\frac{b^2}{b+c}=\frac{a^2-b^2}{c+a-b-c}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a-b}=a+b$ (a ≠ b).

⇒ a² = (a + b)(a + c).

⇒ a²(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c).

⇒ 2012 = (a + b)(ab + ac + bc + c²).

⇒ 2012 = (a + b)c².

Vậy M = c²(a + b) = 2012.

Câu 20: Phân tích số 20 ra thừa số nguyên tố.

Lời giải:

Ta có 20 = 2².5.

Vậy khi phân tích số 20 ra thừa số nguyên tố, ta được kết quả là 2².5.

Câu 21: Giải phương trình: (x² + 2x)² – 6x² – 12x + 5 = 0.

Lời giải:

Ta có (x² + 2x)² – 6x² – 12x + 5 = 0.

⇔ (x² + 2x)² – 6(x² + 2x) + 5 = 0     (1)

Đặt t = x² + 2x.

Phương trình (1) tương đương với: t² – 6t + 5 = 0.

⇔ t = 5 hoặc t = 1.

Với t = 5, ta có: x² + 2x – 5 = 0.

$\iff x=-1\pm \sqrt{6}$.

Với t = 1, ta có: x² + 2x – 1 = 0.

$\iff x=-1\pm \sqrt{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S=\left\{-1\pm \sqrt{6};-1\pm \sqrt{2}\right\}$ .

Câu 22: Mức lương của công nhân tăng 20%, giá mua hàng giảm 20%. Hỏi với mức lương này thì lượng hàng mới sẽ mua được nhiều hơn lượng hàng cũ bao nhiêu phần trăm?

Lời giải:

Giả sử mức lương cũ là 100%. Suy ra mức lương mới là 120% mức lương cũ.

Giả sử giá hàng cũ là 100%. Suy ra giá hàng mới là 80% giá hàng cũ.

Tỉ số phần trăm giữa lượng hàng mới và hàng cũ là: $\frac{120}{80}=\mathrm{1,5}=150\%$

Vậy lượng hàng mới sẽ mua được nhiều hơn lượng hàng cũ là: 150% – 100% = 50%.

Câu 23: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số chia 5 dư 1 và chia 7 dư 1.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là a (a ∈ ℕ), 1000 ≤ a ≤ 9999).

Gọi x là thương khi chia a cho 5; y là thương khi chia a cho 7.

Khi đó a – 1 = 5x và a – 1 = 7y.

Vì vậy a – 1 ∈ BC(5, 7).

Ta có BCNN(5, 7) = 35.

Suy ra BC(5, 7) = {0; 35; 70; 105; 140; ...; 980; 1015; 1050; 1085; ...}.

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên a – 1 = 1015.

Suy ra a = 1015 + 1 = 1016.

Vậy số cần tìm là 1016.

Câu 24: Cho x > y > 0 thỏa mãn 3x² + 3y² = 10xy. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{x-y}{x+y}$ .

Lời giải:

Ta có 3x² + 3y² = 10xy.

⇔ 3x² – 10xy + 3y² = 0.

⇔ 3x² – 9xy – xy + 3y² = 0.

⇔ 3x(x – 3y) – y(x – 3y) = 0.

⇔ (x – 3y)(3x – y) = 0.

⇔ x = 3y hoặc 3x = y.

So với điều kiện x > y > 0, ta nhận x = 3y.

Thế x = 3y vào P ta được: $P=\frac{x-y}{x+y}=\frac{3y-y}{3y+y}=\frac{2y}{4y}=\frac{1}{2}$ .

Vậy $P=\frac{1}{2}$ .

Câu 25: Tìm a, b, c để đồ thị hàm số y = ax² + bx + c là đường parabol có đỉnh I(3; 4), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1.

Lời giải:

Trục hoành: y = 0.

Suy ra giao điểm của parabol cần tìm và trục hoành là điểm A(–1; 0).

Ta có parabol đi qua điểm A(–1; 0).

Suy ra 0 = a – b + c    (1)

Ta có parabol có đỉnh I(3; 4).

Suy ra $-\frac{b}{2a}=3$

Do đó 6a + b = 0     (2)

Ta có parabol đi qua điểm I(3; 4).

Suy ra 4 = 9a + 3b + c    (3)

Từ (1), (2), (3), ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 6a+b=0\\ 9a+3b+c=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=\frac{3}{2}\\ c=\frac{7}{4}\end{array}\right.$ .

Vậy $a=-\frac{1}{4};b=\frac{3}{2};c=\frac{7}{4}$ .

Câu 26: Tính tổng sau: 300 – (–200) – (–120) + 18.

Lời giải:

Ta có: 300 – (–200) – (–120) + 18.

= (300 + 200) + (120 + 18).

= 500 + 138.

= 638.

Câu 27: Cung lồi, cung lõm và điểm uốn là gì?

Lời giải:

+ Cung lồi: Tại mọi điểm của cung AC, tiếp tuyến luôn nằm bên trên cung, khi đó ta nói cung AC là một cung lồi. Khoảng [a; c] ứng với cung lồi AC gọi là khoảng lồi của đồ thị (với a là hoành độ điểm A, c là hoành độ điểm C).

+ Cung lõm: Trên cung CB, mọi tiếp tuyến đều nằm dưới đồ thị, khi đó CB được gọi là cung lõm và đoạn [c; b] là khoảng lõm của đồ thị.

+ Điểm uốn: Điểm chuyển tiếp giữa cung lồi và cung lõm (từ lồi chuyển sang lõm hoặc từ lõm chuyển sang lồi) gọi là điểm uốn của đồ thị. Trong đồ thị trên, điểm C là điểm uốn.

Câu 28: Mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Hỏi tuổi của mỗi người?

Lời giải:

Tuổi mẹ là 6 phần, tuổi con là 1 phần.

Hiệu số phần bằng nhau là:

6 – 1 = 5 (phần).

Giá trị của một phần là:

30 : 5 = 6 (tuổi).

Tuổi con là:

6 × 1 = 6 (tuổi).

Tuổi mẹ là:

6 × 6 = 36 (tuổi).

Đáp số: Tuổi mẹ: 36 tuổi;

             Tuổi con: 6 tuổi.

Câu 29: Cho hàm số y = f(x) = (5 – 3a)x + a + 6.

a) Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến, nghịch biến?

b) Biết f(–2) = 10. Tính f(2).

c) Biết f(3) = 5, hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến?

Lời giải:

a) Hàm số đã cho đồng biến ⇔ 5 – 3a > 0.

$\iff a<\frac{5}{3}$.

Hàm số đã cho nghịch biến ⇔ 5 – 3a < 0.

$\iff a>\frac{5}{3}$.

Vậy $a<\frac{5}{3}$  thì hàm số đã cho đồng biến; $a>\frac{5}{3}$  thì hàm số đã cho nghịch biến.

b) Ta có f(–2) = 10.

⇔ (5 – 3a).(–2) + a + 6 = 10.

⇔ –10 + 6a + a + 6 = 10.

⇔ 7a = 14.

⇔ a = 2.

Khi đó ta có hàm số y = f(x) = –x + 8.

Vậy f(2) = –2 + 8 = 6.

c) Với f(3) = 5, ta có: (5 – 3a).3 + a + 6 = 5.

⇔ 15 – 9a + a + 6 = 5.

⇔ 8a = 16.

⇔ a = 2.

Vì $a=2>\frac{5}{3}$  nên hàm số đã cho nghịch biến khi f(3) = 5.

Câu 30: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, biết rằng có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?

Lời giải:

Chọn 2 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ và có sắp xếp thứ tự thì có $A_5^2$  cách.

Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn thì có $C_5^3$  cách.

Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn, trong đó có mặt chữ số 0 thì có $C_4^2$  cách.

Coi 2 chữ số lẻ là 1 chữ số, kết hợp với 3 chữ số chẵn ta được 4 “chữ số”, sau đó sắp xếp thứ tự chúng thì có 4! cách.

Trường hợp chữ số 0 đứng đầu thì có 3! cách.

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $A_5^2.\left(C_5^3.4!-C_4^2.3!\right)=4080$  (số).

Câu 31: Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.

Lời giải:

Gọi $\overline{abcd}$  là số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 3, 6, 9.

Ta có:

⦁ a có 4 cách chọn (a ≠ 0).

⦁ b có 4 cách chọn.

⦁ c có 3 cách chọn.

⦁ d có 2 cách chọn.

Suy ra ta có tất cả 4.4.3.2 = 96 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Ta thấy các số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 được lập từ các số 0, 3, 6, 9.

Gọi $\overline{mnpq}$  là số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 được lập từ các số 0, 3, 6, 9.

Khi đó:

⦁ m có 3 cách chọn (m ≠ 0).

⦁ n có 3 cách chọn.

⦁ p có 2 cách chọn.

⦁ q có 1 cách chọn.

Suy ra ta có tất cả 3.3.2.1 = 18 số tự nhiên 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 được lập từ các số 0, 1, 3, 6, 9.

Vậy ta có tất cả 96 – 18 = 78 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 32: Tính giá trị của biểu thức D = (3x + 5)(2x – 1) + (4x – 1)(3x + 2), với |x| = 2.

Lời giải:

Ta có D = (3x + 5)(2x – 1) + (4x – 1)(3x + 2)

= 6x² – 3x + 10x – 5 + 12x² + 8x – 3x – 2

= 18x² + 12x – 7.

Theo đề, ta có $\left|x\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-2\end{array}\right.$

Thay x = 2 vào D, ta được: D = 18.2² + 12.2 – 7 = 89.

Thay x = –2 vào D, ta được: D = 18.(–2)² + 12.(–2) – 7 = 41.

Vậy D = 89 hoặc D = 41 khi |x| = 2.

Câu 33: Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = a + 2b² + 3c³.

Lời giải:

Vì a, b, c không âm và a + b + c = 2 nên 0 ≤ a, b, c ≤ 2.

Khi đó ta có:

⦁ a ≤ 12a;

⦁ 2b² = 2b.b ≤ 4b ≤ 12b;

⦁ 3c³ = 3c².c ≤ 3.2².c = 12c.

Suy ra P = a + 2b² + 3c³ ≤ 12(a + b + c) = 12.2 = 24.

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}a=b=0\\ c=2\end{array}\right.$ .

Vậy P_max = 24 khi (a; b; c) = (0; 0; 2).

Câu 34: Tổng của ba số bằng 13,68. Biết rằng tổng của số thứ nhất và số thứ hai bằng 5,79; tổng của số thứ hai và số thứ ba bằng 12,45. Tìm ba số đó.

Lời giải:

Số thứ ba là: 13,68 – 5,79 = 7,89.

Số thứ hai là: 12,45 – 7,89 = 4,56.

Số thứ nhất là: 5,79 – 4,56 = 1,23.

Đáp số: Số thứ nhất: 1,23;

          Số thứ hai: 4,56;

          Số thứ ba: 7,89.

Câu 35: Giải phương trình: x² + x – 1 = 0.

Lời giải:

Ta có x² + x – 1 = 0.

∆ = 1² – 4.1.(–1) = 5 > 0.

Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Hai nghiệm là: $\left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\right\}$ .

Câu 36: Tìm x, biết: x : 0,25 + x × 11 = 24.

Lời giải:

Ta có x : 0,25 + x × 11 = 24

x × 4 + x × 11 = 24

x × (4 + 11) = 24

x × 15 = 24

x = 24 : 15

x = 1,6

Vậy x = 1,6.

Câu 37: Trong vườn có 12 cây cam và 28 cây chanh. Tìm tỉ số phần trăm số cây cam so với tổng số cây trong vườn.

A. 42,85%.

B. 30%.

C. 70%.

D. 233,33%.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Trong vườn có tổng số cây là:

12 + 28 = 40 (cây)

Tỉ số phần trăm của cây cam so với tổng số cây trong vườn là:       

12 : 40 = 0,3 = 30%

Đáp số: 30%.

Câu 38: Hãy so sánh: 256⁵ và 31⁸.

Lời giải:

Ta có 256⁵ = (2⁸)⁵ =2^8.5 = (2⁵)⁸ = 32⁸.

Vì 31 < 32 nên 31⁸ < 32⁸.

Vậy 31⁸ < 256⁵.

Câu 39: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d₁): y = –2x + 5 và đi qua điểm A(–2; 1).

Lời giải:

Vì (d) // (d₁) nên phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = –2x + b (b ≠ 5).

Ta có (d) đi qua điểm A(–2; 1). Suy ra 1 = –2.(–2) + b.

Khi đó b = –3 (nhận).

Vậy phương trình (d): y = –2x – 3.

Câu 40: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$  là bình phương của một số hữu tỉ.

Lời giải:

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}={\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right) \\ ={\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2-2.\frac{c+a+b}{abc} \\ ={\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2-2.\frac{0}{abc}={\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2 \end{gathered}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: