Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 2) và đi qua điểm A(1;−2; −1)

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 106)

Đề bài. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 2) và đi qua điểm A(1;−2; −1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng?

Lời giải:

Ta có: $AI=\frac{\sqrt{A{B}^2+A{C}^2+A{D}^2}}{2}=3\sqrt{3}$

Suy ra: AB² + AC² + AD² = 4.AI² ≥ 4.27 ≥ $3\sqrt[3]{A{B}^2.A{C}^2.A{D}^2}$

⇔ AB.AC.AD ≤ 216

Vậy $V_{ABCD}=\frac{1}{6}.AB.AC.AD\le \frac{1}{6}.216=36$

Dấu “=” xảy ra khi AB = AC = AD = 6.