1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 11)

1500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 11)

Câu 1: Hai góc tương ứng là gì?

Lời giải:

Hai góc tương ứng là hai góc của hai tam giác khác nhau.

Hai góc đó bằng nhau và nằm trong hai tam giác bằng nhau.

Câu 2: Cho tam giác ABC, lấy D là trung điểm của AC. Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BD tại E. Tại cạnh BC lấy điểm M sao cho DM cắt AE tại N. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{AED}=\widehat{CBD}$
b) $\widehat{DNE}=\widehat{DMB}$
c) $\widehat{BAD}=\widehat{DCE}$ .

Lời giải:

a) Chứng minh: $\widehat{AED}=\widehat{CBD}$

Xét tam giác ADE và tam giác CDB, có:

$\widehat{DAE}=\widehat{DCB}$ (vì hai góc so le trong)

DA = DC (D là trung điểm của AC)

$\widehat{ADE}=\widehat{CDB}$ (hai góc đối đỉnh)

→ Tam giác ADE = tam giác CDB (g.c.g)

→ $\widehat{AED}=\widehat{CBD}$ (điều phải chứng minh)

Câu b); câu c): Học sinh tự giải (tương tự như phương pháp giải các câu trên).

Câu 3: Có bao nhiêu phân số thập phân có tử số là 3, lớn hơn $\frac{1}{34}$  và nhỏ hơn $\frac{1}{8}$ .

Lời giải:

Gọi số đó là x 

Ta có :

$$\begin{gathered} \frac{1}{34}<x<\frac{1}{8} \\ \Rightarrow \frac{4}{136}<x<\frac{17}{136} \\ \Rightarrow x\in \left\{\frac{5}{136};\frac{6}{136};\frac{7}{136};\frac{8}{136};\frac{9}{136};\frac{10}{136};\frac{11}{136};\frac{12}{136};\frac{13}{136};\frac{14}{136};\frac{15}{136};\frac{16}{136}\right\} \\ \Rightarrow x\in \left\{\frac{5}{136};\frac{3}{68};\frac{7}{136};\frac{1}{17};\frac{9}{136};\frac{5}{68};\frac{11}{136};\frac{3}{34};\frac{13}{136};\frac{7}{68};\frac{15}{136};\frac{2}{17}\right\} \end{gathered}$$

Vậy có 2 phân số có tử số là 3, lớn hơn $\frac{1}{34}$ và nhỏ hơn $\frac{1}{8}$ .

Câu 4: Tìm x: $9{\left(x+1\right)}^2-\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)=10$

Lời giải:

Câu 5: Tú và Hiếu có 40 viên bi, sau khi Hiếu cho Tú 2 viên thì số bi của Hiếu bằng $\frac{2}{3}$  số bi của Tú. Hỏi ban đầu Tú có bao nhiêu viên.

Lời giải:

Số bi ban đầu của Tú là

40 : 2 – 2 = 18 (viên bi).

Câu 6: Xác định số đo góc nhỏ nhất của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.

A. 30^o

B. 45^o

C. 15^o

D. 60^o

Lời giải:

Chọn A

Gọi d = 2a là công sai. Bốn số phải tìm là:

A = (x - 3a); B = (x - a); C = (x + a); D = (x + 3a).

Tổng số đo  4 góc của 1 tứ giác  bằng 360^o

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}\left(x-3a\right)+\left(x-a\right)+\left(x+a\right)+\left(x+3a\right)={360}^o\\ \left(x+3a\right)=5\left(x-3a\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}4x={360}^o\\ x+3a=5x-15a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x={90}^o\\ 4x=18a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x={90}^o\\ a={20}^o\end{array}\right.$

Số đo góc nhỏ nhất là :  90 – 3 . 20 = 30.

Câu 7: Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng đo 4 góc lập thành 1 cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất ?

Lời giải:

Chẳng hạn $\widehat{A}<\widehat{B}<\widehat{C}\text{<}\widehat{D}$

Gọi a số đo $\widehat{A}$  của tứ giác ABCD

Vì các góc lập thành cấp số cộng (số đo góc lớn hơn số đo góc nhỏ hơn bằng một số)

Gọi d là khoảng chênh lệch số đo giữa các góc (công sai của cấp số cộng, lớp 11 mới học)

Theo đề ta có

a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 360^o

4a + 6d = 360

hay 2a + 3d = 180 (1)

Vì góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất nên

a + 3d = 5a (2)

Từ (2) suy ra 3d = 5a - a = 4a

Thau vào (1):

2a + 3d = 2a + 4a = 180

6a = 180 suy ra a = 30 $\to d=\frac{4.30}{3}\to d=40$

Vậy số đo góc A là 30 độ

số đo góc B là 70 độ

góc C = 70 + 40 = 110 độ

và góc D = 110 + 40 = 150 độ

Câu 8: Hiện nay bố 32 tuổi, con 5 tuổi . Hỏi mấy năm nữa thì tuổi bố gấp 4 lần tuổi con?

Lời giải:

Hiệu số tuổi của hai bố con là:

32 – 5 = 27 (tuổi)

Tuổi của con lúc tuổi bố gấp 4 lần tuổi con là:

27 : (4 - 1) = 27 : 3 = 9 (tuổi)

Số năm cần tìm là:

9 – 5 = 4 (năm)

Câu 9: Tìm số thực a biết: $x^4-6x^3+12x^2-14x+3a$  chia x – 2 dư 3

Lời giải:

Để số dư của phép chia là 3 thì 3a – 12 = 3 ⇔ a = 5.

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng 2x - y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$biến đường thẳng d thành chính nó thì $\overrightarrow{v}$ phải là vecto nào trong các vecto sau?

A. (1; 2)

B. (2; -1)

C. (2; 1)

D. (0; 1)

Lời giải:

Đáp án A

Vecto tịnh tiến cùng phương với d. Một vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow{u_d}= \left(1;2\right)$ .

Câu 11: 36dm =.......m

Lời giải:

36dm = 3,6 m

Câu 12: Một tổ công nhân có 12 người. Cần chọn 3 người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 1320

B. 12!

C. 230

D. 1230

Lời giải:

Đáp án A

Số cách chọn 3 người làm tổ trưởng, tổ phó, thành viên là một chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử: $A_{12}^3=1320$ cách

Số cách chọn là 1320

Câu 13: Cho lục giác ABCDEF. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác.

A. 20

B. 12

C. 30

D. 16

Lời giải:

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơ – không là $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BA}$ .

Một vectơ khác vectơ – không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 30 cách chọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác (có tính thứ tự các điểm) nên có thể lập được 30 vectơ.

Câu 14: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khi đó:

Lời giải:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\\ \iff \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AG}\iff 3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\iff \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\end{array}$

Chọn C

Câu 15: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Phép vị tự tâm G biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ có tỉ số vị tự bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{GA\text{'}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA};\overrightarrow{GB\text{'}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC\text{'}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GC}$  nên phép vị tự tâm G biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ có tỉ số vị tự bằng $-\frac{1}{2}$

Chọn: A

Câu 16: Tổng tất các nghiệm thuộc đoạn $\left[\mathrm{0,10}\pi \right]$ của phương trình ${\sin }^{2}2x+ 3.\sin 2x + 2 = 0$

Lời giải:

Phương trình: $si{n}^{2}2x+3sin2x+2=0$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}sin2x=-1\\ sin2x=-2\left(VL\right)\end{array}\right.\iff sin2x=-1 \\ \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

Ta có: $x\in \left[0;10\pi \right]$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 0\le -\frac{\pi }{4}+k\pi \le 10\pi \\ \Rightarrow \frac{\pi }{4}\le k\pi \le \frac{41\pi }{4} \\ \Rightarrow \frac{1}{4}\le k\le \frac{41}{4} \end{gathered}$$

Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}$

Khi đó các nghiệm của phương trình là: $x\in \left\{\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4};\mathrm{...};\frac{39\pi }{4}\right\}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: $\frac{3\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}+\frac{11\pi }{4}+\frac{15\pi }{4}+\mathrm{...}+\frac{39\pi }{4}=\frac{105\pi }{2}$

Chọn đáp án A.

Câu 17: Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 trên $\left[0;2\pi \right].$

Lời giải:

Ta có

$$\begin{gathered} \sin 2x-\cos x=0\iff \sin 2x=\cos x\iff \sin 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right) \\ \iff \left[\begin{array}{c}2x=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}-x+k2\pi \\ 2x=\pi -\left(\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}-x\right)+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 6}}+\frac{{\displaystyle k2\pi }}{{\displaystyle 3}}\\ x=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}+k2\pi \end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì $x\in \left[0;2\pi \right]$ suy ra

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}0\le \frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\le 2\pi \\ 0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi \le 2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{4}\le k\le \frac{11}{4}\Rightarrow k\in \left\{0;1;2\right\}\\ -\frac{1}{4}\le k\le \frac{3}{4}\Rightarrow k\in \left\{0\right\}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ là $\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6};\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}\to T=3\pi .$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 18: Thực hiện các phép tính:

Lời giải:

Câu 19: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.

1. Xác định hình tính của tứ giác AMON.

2. Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của (O)?

Lời giải:

1. Xét tứ giác AMON ta có

$\left\{\begin{array}{c}AM//ON(\text{cung.}vuong.goc.voi.OB)\\ AN//OM(\text{cung.}vuong.goc.voi.OC)\end{array}\right.$

Do đó AMON là hình bình hành

Mặt khác, xét hai tam giác vuông

$\Delta OBM$ và $\Delta OBM$ ta có

$\left\{\begin{array}{c}OB=OC=R\\ \widehat{MOB}=\widehat{NOC}\left(cung.phu.voi.goc.\widehat{MON}\right)\end{array}\right.$

Do đó $\Delta OBM=\Delta OCN\Rightarrow OM=ON$

Vậy AMON là hình thoi

2. Để MN tiếp xúc với (O; R) thì $d\left(O;MN\right)=R\iff OI=R\iff OA=2R$

Câu 20: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB và CD

a) Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

Lời giải:

a) Ta có: $AE=DE=\frac{1}{2}AB$  và AE // DF

→ tứ giác AEFD là hình bình hành

Có thêm $AE=AD=\frac{1}{2}AB$

→AEFD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

AE // FC và AE = FC ( vì cùng $=\frac{1}{2}AB$ )

→ AECF là hình bình hành

b) Tứ giác AECF là hình bình hành nên EN // MF(1)

Chứng minh tương tự câu a tứ giác EBFN là hình bình hành

→ ME // FN(2)

Từ (1) và (2) suy ra EMFN là hình bình hành (3)

Tứ giác AEFD là hình thoi nên suy ra $\text{AF}\perp DE$

$\to \widehat{\text{EMF}}={90}^{\circ }$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra EMFN là hình chữ nhật

Câu 21: Một hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp đó. Xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh bằng

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=C_{10}^1.C_9^1$ .

Gọi A là biến cố: “Viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh”.

Trường hợp 1: Lần thứ nhất lấy được bi đỏ, lần thứ hai lấy được bi xanh.

Có $C_6^1.C_4^1$  cách chọn.

Trường hợp 2: Cả 2 lần đều lấy được bi xanh.

Có $C_4^1.C_3^1$  cách chọn.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_6^1.C_4^1+C_4^1.C_3^1}{C_{10}^1.C_9^1}=\frac{2}{5}$ .

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 22: Một hình chữ nhật có các kích thước 6 m và 2 m. Một hình tam giác có các cạnh bằng 5 m, 5 m, 6 m. Chứng minh rằng hai hình đó có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật là: 6.2 = 12 (m²).

Chu vi hình chữ nhật là: (6 + 2).2 = 16 (m).

Chu vi tam giác là: 5 + 5 + 6 = 16 (m).

Gọi H là trung điểm BC. Suy ra $AH=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3$  (m).

Tam giác ABC có AB = AC = 5 (m).

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Do đó AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABH vuông tại H: $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$  (m).

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.4.6}=12$  (m²).

Vậy hình chữ nhật và hình tam giác có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau.

Câu 23: Viết phương trình của đường thẳng y = ax + b thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Có hệ số góc bằng –2 và đi qua điểm A(–1; 2).

b) Có tung độ gốc bằng 3 và đi qua một điểm trên trục hoành có hoành độ bằng –1.

c) Đi qua hai điểm B(1; 2) và C(3; 6).

Lời giải:

a) Vì hệ số góc bằng –2 nên phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = –2x + b.

Đường thẳng đi qua điểm A(–1; 2).

Suy ra 2 = –2.(–1) + b

Do đó b = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = –2x.

b) Vì tung độ gốc bằng 3 nên phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: y = ax + 3 (a ≠ 0).

Lại có đường thẳng đi qua một điểm trên trục hoành có hoành độ bằng –1.

Suy ra 0 = a.(–1) + 3

Do đó a = 3 (nhận).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 3x + 3.

c) Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: y = ax + b (a ≠ 0).

Ta có đường thẳng đi qua điểm B(1; 2).

Suy ra 2 = a + b.

Do đó a = 2 – b    (1)

Lại có đường thẳng đi qua điểm C(3; 6).

Suy ra 6 = 3a + b  (2)

Thế (1) vào (2), ta được: 6 = 3(2 – b) + b.

⇔ 6 = 6 – 3b + b

⇔ –2b = 0

⇔ b = 0.

Với b = 0, ta có a = 2 – b = 2 – 0 = 2 (nhận).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x.

Câu 24: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10.

Lời giải:

x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10

⇔ x² + y² + 4z² + 2xy – 4xz – 4yz + 4y² + 4yz + z² + z² = 10

⇔ (x + y – 2z)² + (2y + z)² + z² = 10   (1)

Vì x, y, z là các số nguyên nên (x + y – 2z)², (2y + z)², z² là các số chính phương.

Ta có 10 = 0 + 1 + 9.

Trường hợp 1: z² = 0 ⇔ z = 0.

Khi đó ta có (2y)² = 1 hoặc (2y²) = 9.

Lúc này không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 2: (2y + z)² = 0 ⇔ z = –2y.

Suy ra z² = (–2y)² = 1 hoặc z² = (–2y)² = 9.

Tương tự trường hợp 1, ta cũng không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 3: (x + y – 2z)² = 0.

Khi đó phương trình (1) tương đương với: $\left\{\begin{array}{l}{\left(x+y-2z\right)}^2=0\\ {\left(2y+z\right)}^2=1\\ z^2=9\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}{\left(x+y-2z\right)}^2=0\\ {\left(2y+z\right)}^2=9\\ z^2=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ 2y+z=1\\ z=\pm 3\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ 2y+z=9\\ z=\pm 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=7\\ y=-1\\ z=3\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=2\\ z=-3\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\\ z=1\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=-7\\ y=5\\ z=-1\end{array}\right.$

Vậy (x; y; z) ∈ {(7; –1; 3), (–8; 2; –3), (–2; 4; 1), (–7; 5; –1)}.

Câu 25: Cho hàm số y = (2m – 1)x + 2 (1) có đồ thị là đường thẳng d_m.

a) Vẽ đồ thị hàm số m = 1.

b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên ℝ.

c) Tìm m để d_m đồng quy với d₁: y = x + 4 và d₂: y = –2x + 7.

Lời giải:

a) d_m: y = (2m – 1)x + 2 $\left(m\ne \frac{1}{2}\right)$ .

Với m = 1, ta có: y = x + 2.

Bảng giá trị của d_m khi m = 1:

Do đó đồ thị hàm số y = x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm (1; –1) và (0; 2).

b) Hàm số (1) đồng biến trên ℝ ⇔ 2m – 1 > 0.

$\iff m>\frac{1}{2}$.

Vậy $m>\frac{1}{2}$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Phương trình hoành độ giao điểm của d₁ và d₂: x + 4 = –2x + 7

⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1.

Với x = 1, ta có y = 1 + 4 = 5.

Do đó giao điểm của d₁ và d₂ là A(1; 5).

Để ba đường thẳng d, d₁ và d₂ đồng quy thì A(1; 5) ∈ d_m.

Û 5 = (2m – 1).1 + 2

Û 5 = 2m – 1 + 2

Û 2m = 4

Û m = 2 (nhận)

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 26: Tìm x ∈ ℤ, biết: 11 chia hết cho (2x + 1).

Lời giải:

Ta có 11 chia hết cho (2x + 1).

⇒ 2x + 1 ∈ Ư(11).

⇒ 2x + 1 ∈ {–11; –1; 1; 11}.

Ta có bảng sau:

2x + 1	–11	–1	1	11
x	–6	–1	0	5

Vì x ∈ ℤ nên ta nhận x ∈ {–6; –1; 0; 5}.

Vậy x ∈ {–6; –1; 0; 5} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 27: Tìm x ∈ ℕ để 11.2x chia hết cho 2x – 1.

Lời giải:

Ta có 11.2x = 11.(2x – 1) + 11.

Để 11.2x chia hết cho 2x – 1 thì 11.(2x – 1) và 11 đều phải chia hết cho 2x – 1.

Ta có 2x – 1 ⋮ 2x – 1 (hiển nhiên).

Suy ra 11.(2x – 1) ⋮ (2x – 1).

Ta có 11 chia hết cho (2x – 1).

⇒ 2x – 1 ∈ Ư(11).

⇒ 2x – 1 ∈ {–11; –1; 1; 11}.

Ta có bảng sau:

2x – 1	–11	–1	1	11
x	–5	0	1	6

Vì x ∈ ℕ nên ta nhận x ∈ {0; 1; 6}.

Vậy x ∈ {0; 1; 6} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 28: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B₁, đựng cao Sao vàng, và đựng “Quy nhân sâm đại bổ hoàn”. Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau:

– Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B₁, 1 hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.

– Cách thứ hai cắt được 2 hộp B₁, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm.

Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B₁ tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao Sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số bìa phải dùng là ít nhất?

Lời giải:

Gọi x, y (x, y ≥ 0) lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.

Bài toán đưa đến tìm x, y ≥ 0 thỏa mãn hệ: $\left\{\begin{array}{l}3x+2y\ge 900\\ x+3y\ge 1000\\ 6x+y=900\end{array}\right.$  (1) sao cho L = x + y nhỏ nhất.

Vẽ d₁: 3x + 2y = 900, d₂: x + 3y = 1000, d₃: 6x + y = 900 trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

Tiếp theo, ta lấy điểm A(0; 900). Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}3.0+2.900=1800\ge 900\\ 0+3.900=2700\ge 1000\\ 6.0+900=900\end{array}\right.$  (đúng).

Suy ra miền nghiệm của hệ (1) là một phần đường thẳng d₃ được tô màu như hình vẽ.

Ta có giao điểm của d₃ và Oy là A(0; 900) và giao điểm của d₃ và d₂ là B(100; 300).

Từ miền nghiệm, ta thấy L nhỏ nhất khi (x; y) là một trong hai điểm A(0; 900) và B(100; 300).

L(0; 900) = 0 + 900 = 900.

L(100; 300) = 100 + 300 = 400.

Do đó L nhỏ nhất khi x = 100, y = 300.

Vậy người ta cần cắt 100 tấm bìa theo cách thứ nhất, 300 tấm bìa theo cách thứ hai thì tổng số bìa phải dùng là ít nhất.

Câu 29: Cho đường tròn (O; R). Vẽ 2 dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh S_ACBD ≤ 2R².

Lời giải:

Vì AB, CD là các dây của đường tròn (O; R) nên AB ≤ 2R và CD ≤ 2R.

Vì AB ⊥ CD nên $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.CD\le \frac{1}{2}.2R.2R=2R^2$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 30: Cho phương trình x² – 2mx + 2(m – 2) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Lời giải:

Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0.

⇔ 2(m – 2) < 0 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2   (1)

Phương trình đã cho có nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

⇔ S < 0 ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0   (2)

Từ (1), (2), suy ra m < 0.

Vậy m < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 31: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Vẽ AH và GK vuông góc với BC

Gọi M là chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC. Ta có GM = AM( tính chất đường trung tuyến của tam giác).

Xét tam giác GKM và tam giác AHM:

$\widehat{AHM}=\widehat{GKM}=90°$

$\widehat{AMH}=\widehat{GMK}$

⇒ Tam giác GKM và tam giác AHM đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow \frac{GM}{AM}=\frac{GK}{AH}=\frac{1}{3}$

Có $\frac{S_{GBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.GK.BC}{\frac{1}{2}.AH.BC}=\frac{GK}{AH}=\frac{1}{3}$ .

Chứng minh tương tự ta được:

S­_GBC = S_GAB = S_GAC =  S_ABC (ĐPCM).

Câu 32: Cho y = (1 –  2m)x + m + 1. Tìm m để y là hàm hằng.

Lời giải:

Ta có: y = (1 – 2m)x + m + 1

Để y là hàm hằng thì 1 – 2m = 0 với mọi x ⇒ m = $\frac{1}{2}$ .

Câu 33: Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{x-1}\\ akh\text{i x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}\end{array}\right.$ khi x ≠ 1 có đạo hàm tại x = 1.

Lời giải:

Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1, tức là

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=a \\ \iff \underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=a\iff 2=a \end{gathered}$$

Khi đó hàm số có dạng: $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{x-1}kh\text{ix}\ne 1\\ 2khix=1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{x^2-1}{x-1}-2}{x-1} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1-2}{x-1}=1 \end{gathered}$$

Vậy a = 2.

Câu 34: Biết rằng $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1},x\ne 1\\ a,x=1\end{array}\right.$  liên tục trên khoảng [0; 1) (với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị a là đúng?

A. a là 1 số nguyên;

B. a là 1 số hữu tỉ;

C. a > 5;

D. a < 0.

Lời giải:

Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1},x\ne 1\\ a,x=1\end{array}\right.$  xác định trên $\left[0;\left.1\right)\right.$ . Khi đó liên tục trên $\left[0;\left.1\right)\right.$ khi và chỉ khi

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right).(\ast )$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}f\left(1\right)=a\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}\\ =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left[(x+1)(\sqrt{x}+1).\sqrt{x}-1\right.}{\sqrt{x}-1}\\ =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left[(x+1)(\sqrt{x}\right.+1\left.)\right]=4\end{array}\right.$

⇒ (*) ⟺ a = 4.

Câu 35: Cho phương trình $x^2-mx-m-1=0$ . Tìm các giá trị của m để x₁; x₂ thỏa mãn 2x₁ – 3x₂ = 5.

Lời giải:

Để phương trình $x^2-mx-m-1=0$  có 2 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow m^2+4m+4$ > 0 $\Rightarrow {(m+2)}^2$ > 0 ⟺ m ≠ 2

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=\frac{m+\sqrt{{(m+2)}^2}}{2}\\ x=\frac{m-\sqrt{{(m+2)}^2}}{2}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{c}\frac{m+m+2}{2}=m+1\\ \frac{m-m-2}{2}=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do: 2x₁ – 3x₂ = 5

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left[\begin{array}{c}2(m+1)-3.(-1)=5\\ 2.(-1)-3(m+1=5\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{c}2m+2+3=5\\ -2-3m-3=5\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=-\frac{10}{3}\end{array}\right.\left(TM\right) \end{gathered}$$

Câu 36: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}$ .

Lời giải: 

Ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE})+\overrightarrow{CD}$

$$\begin{gathered} =\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}+(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}) \\ =\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}=VP \end{gathered}$$

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}$ .

Câu 37: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của (O) tại A, lấy điểm M. Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại C. Chứng minh ∆ABC vuông và $M{A}^2=MC.MB$ .

Lời giải:

Ta có:

$\widehat{ABC}=90°$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⟹ AC ⊥ BC ⇒ AC ⊥ MB

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆MAB vuông tại A đường cao AC ta được:

$M{A}^2=MC.MB$.

Câu 38: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của (O) tại A, lấy điểm M. Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại C. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh 4 điểm M, C, I, A cùng thuộc 1 đường tròn.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{ACB}=90°\Rightarrow \widehat{ACM}=90°$

AI ⊥ OM ⇒ $\widehat{AIM}=90°$

Xét tứ giác MCIA có:

$\widehat{ACM}=\widehat{AIM}=90°$

$\widehat{ACM}$ và $\widehat{AIM}$  cùng nhìn cạnh AM

Do đó MCIA là tứ giác nội tiếp

⇒ M, C, I, A cùng thuộc 1 đường tròn.

Câu 39: Cho AC là đường kính của (O; R). Trên tiếp tuyến tại A của (O; R), lấy điểm I sao cho IA lớn hơn R. Từ I vẽ tiếp tuyến thứ 2 với (O; R) với tiếp tuyến là B. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường thẳng BC tại H. Chứng minh BC // OI.

Lời giải:

Trong (O) B ∈ (O); AC là đường kính ⇒ BC ⊥ AB

AI, BI là 2 tiếp tuyến tại I của (O) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}IA=IB\\ \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\end{array}\right.$

⇒ IO ⊥ AB

Mà AB ⊥ BC

⇒ IO // BC (Từ vuông góc đến song song).

Câu 40: Cho đường tròn (O, R) và 1 điểm A sao cho OA = 2R vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vã đường kính BOD. Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn.

Lời giải:

AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90°$

⇒ B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

⇒ A, B, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

Câu 41: Cho các số thực dương x, y, z, thỏa mãn x + 2y + 3z = 18. Chứng minh rằng:

$\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\ge \frac{51}{7}$

Lời giải:

$$\begin{gathered} \frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z} \\ =\frac{2y+3z+5}{1+x}+1+\frac{3z+x+5}{1+2y}+1+\frac{x+2y+5}{1+3z}+1-3 \\ =(x+2y+3z+6)(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+3z})-3\ge 24.\frac{9}{x+2y+3z+3}-3 \\ =24.\frac{9}{21}-3=\frac{51}{7} \end{gathered}$$

Câu 42: Hiện nay anh 13 tuổi và em 3 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi anh sẽ gấp 3 lần tuổi em?

Lời giải:

Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm 1 tuổi nên hiệu số tuổi của 2 anh em không thay đổi và bằng: 13 – 3 = 10 (tuổi)

Tuổi em khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em là: 10 : (3 – 1)= 5 (tuổi)

Vậy tuổi anh gấp 3 lần tuổi em sau số năm là: 5 – 3 = 2 (năm).

Câu 43: Rút gọn biểu thức $A=\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}+\frac{2x}{x^2+y^2}+\frac{4x^3}{x^4+y^4}+\frac{8x^7}{x^8+y^8}$ .

Lời giải:

Câu 44: Tìm điều kiện xác định của biểu thức $P=\frac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)$ .

Lời giải:

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{c}x>0\\ \sqrt{x+2}\ne 0\\ \sqrt{x-2}\ne 0\Rightarrow x\ne 4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x>0\\ x\ne 4\end{array}\right.$ .

Câu 45: Từ các chữ số 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tư nhiên có 9 chữ số, trong đó chữa số 2 có mặt 2 lần, chữa số 3 có mặt 3 lần, chữa số 4 có mặt 4 lần?

Lời giải:

Dùng tổ hợp

Chọn vị trí cho 2 chữa số 2 có $C_9^2$  cách

Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có $C_7^3$ cách

Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có $C_4^4$  cách

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_9^2.C_7^3.C_4^4=1260$  số.

Câu 46: Chu vi 1 hình tứ giác là 23,4 m. Tổng độ dài cạnh 1, cạnh 2 và cạnh 3 là 18,9 m. Tổng độ dài cạnh 3 và cạnh 4 là 9,9 m. Tính độ dài mỗi cạnh.

Lời giải:

Độ dài cạnh 4 là: 23,4 – 18,9 = 4,5 (m)

Độ dài cạnh 3 là: 9,9 – 4,5 = 5,4 (m)

Độ dài cạnh 2 là: 11,7 – 5,4 = 6,3 (m)

Độ dài cạnh 1 là: 18,9 – 5,4 – 6,3 = 7,2 (m)

Câu 47: Tính nhanh 19 – 42. (–19) + 38.5

Lời giải:

19 – 42.(–19) + 38.5 = 19 + 19.42 + 19.25 = 19 + 19.42 + 19.10

= 19.(1 + 42 + 10) = 19.53 = 1007.

Câu 48: Một tổ 12 người làm trong 3 ngày được 144 sản phẩm. Hỏi nếu muốn làm được 120 sản phẩm trong 2 ngày thì cần bao nhiêu người ?

Lời giải:

Một người trong 1 ngày làm được số sản phẩm là: 144 : 3 : 12 = 4 (sản phẩm).

Muốn làm được 120 sản phẩm thì cần số người là: 120 : 2 : 4 = 15 (người).

Câu 49: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 36 cm, chiều rộng bằng $\frac{3}{5}$ chiều dài được uốn từ 1 sợi dây thép. Hỏi sợi dây thép đó dài bao nhiêu mét ?

Lời giải:

Chiều dài hình chữ nhật: 36 : 3 x 5 = 60 (cm)

Sợi dây thép đó dài: (60 + 36) x 2 = 192 (cm) = 1,92 m.

Câu 50: Một xí nghiệp gà giống trong 1 lần ra lò đã thu 10800 gà con giống Anh Đào, những kiểm tra sinh học cho biết khả năng thụ tinh trứng là 100%, đàn gà giống xác định là hoàn toàn khỏe mạnh, tỉ lệ nở so với số trứng có phôi là 90%. Hãy xác định số lượng tế bào sinh tinh, số lượng tế bào sinh trứng để tạo nên đàn gà này?

Lời giải:

Số trứng ban đầu: $\frac{10800.100}{90}=12000$

Vì 1 tế bào sinh trứng tạo 1 trứng nên số tế bào sinh trứng bằng 120001 tinh trùng thụ tinh với 1 trứng, khả năng thụ tính bằng 100% nên số tinh trùng bằng 120001 tế bào sinh tinh tạo 4 tinh trùng nên số tế bào sinh tinh bằng: 12000 : 4 = 3000 ( tế bào) / 1 tế bào sinh trứng tạo 1 tế bào trứng và 3 thể định hướng. 1 thể định hướng có NST của loài số lượng NST bị tiêu biến:

12000 × 3 × n = 36000 n.

Câu 51: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta lập được các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 1 số vừa lập, tính xác suất để chọn được 1 số có đúng 3 chữ số lẻ mà các chữ số lẻ xếp kề nhau.

Lời giải:

Ta có số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=A_8^6=20160$ .

Gọi  A: “Số được chọn có đúng 3 chữ số lẻ mà các chữ số lẻ xếp kề nhau”.

Chịn 3 chữ số lẻ có $A_4^3=24$ cách. Ta coi 3 chữ số lẻ này là 1 số a. Sắp số a vào 4 vị trí có 4 cách; Còn 3 vị trí còn lại sắp xếp các chữ số chẵn có $A_4^3=24$  cách.

Khi đó n(A) = 24.4.24 = 2304. Vậy xác suất cần tính là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2304}{20160}=\frac{4}{35}$ .

Câu 52: Tìm x, biết: 2(x – 5) – 3(x + 7) = 14.

Lời giải:

2(x – 5) – 3(x + 7) = 14

⟺ 2x – 10 – 3x – 21 = 14

⟺ – x – 31 = 14

⟺ x = –31 – 14

⟺ x = – 45

Câu 53: Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Chứng minh rằng:$\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BN}$

Lời giải:

Vì $2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ ( Vì BN là trung tuyến của ∆ABC)

$$\begin{gathered} \iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BN} \\ \iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{BN}\iff \overrightarrow{AB}=\frac{\overrightarrow{BA}}{2}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{BN} \\ \iff \overrightarrow{AB}-\frac{\overrightarrow{BA}}{2}=-\overrightarrow{CM}-2\overrightarrow{BN}\iff \overrightarrow{AB}+\frac{\overrightarrow{AB}}{2}=-\overrightarrow{CM}-2\overrightarrow{BN} \\ \iff \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CM}-2\overrightarrow{BN}\iff \overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BN} \end{gathered}$$

Câu 54: Làm tròn số 3,14159... đến chữ số thập phân thứ 3

Lời giải:

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn số 3,14159 đến chữ số thập phân thứ 3 ta được kết quả là 3,142.

Câu 55: Giải phương trình: ${\sin }^{2}2x$ (tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3.

Lời giải:

ĐK: cosx ≠ 0

$$\begin{gathered} \iff {\sin }^{2}x(\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{\cos x}+1)=3\sin x(\cos x-\mathrm{s}\text{inx})+3 \\ \iff {\sin }^{3}x+{\sin }^{2}x\cos x=3\sin x{\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x\cos x+3\cos x \end{gathered}$$

Chia 2 vế của PT cho cosx ≠ 0 ta có

$$\begin{gathered} \iff {\tan }^{3}x+{\tan }^{2}x=3\tan x-3{\tan }^{2}x+3(1+{\tan }^{2}x) \\ \iff (\tan x+1)({\tan }^{2}x-3)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\right. \end{gathered}$$

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 12)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 13)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 14)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 15)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 16)