Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC

Đề bài: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Vẽ AH và GK vuông góc với BC

Gọi M là chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC. Ta có GM = AM( tính chất đường trung tuyến của tam giác).

Xét tam giác GKM và tam giác AHM:

$\widehat{AHM}=\widehat{GKM}=90°$

$\widehat{AMH}=\widehat{GMK}$

⇒ Tam giác GKM và tam giác AHM đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow \frac{GM}{AM}=\frac{GK}{AH}=\frac{1}{3}$

Có $\frac{S_{GBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.GK.BC}{\frac{1}{2}.AH.BC}=\frac{GK}{AH}=\frac{1}{3}$ .

Chứng minh tương tự ta được:

S­_GBC = S_GAB = S_GAC =  S_ABC (ĐPCM).

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: