1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 2)

1500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 2)

Câu 1: Từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà chữ số 1 không đứng cạnh chữ số 6

Lời giải:

Nếu không có chữ số 1: Có 6! = 720 cách lập

Nếu không có chữ số 6: Có 6! = 720 cách lập

Nếu có đồng thời các chữ số 1 và 6:

Chọn ra thêm 4 chữ số khác có   cách

Xếp chữ số 1 với 4 chữ số khác có 5! cách

Xếp chữ số 6 vào có 6 – 2 = 4 vị trí có thể

Tạo được:  .5!.4 = 2400 số

Tất cả có: 720 + 720 + 2400 = 3840 số thỏa mãn

Câu 2: Từ các số của tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau

A. 720;

B. 710;

C. 820;

D. 280.

Lời giải:

Đặt x = 23. Số các số cần lập có dạng  $\overline{abcd}$ với a; b; c; d ∈{1; x; 4; 5; 6; 7}  có $A_6^4$ số như vậy

Mặt khác khi hoán vị hai số 2 và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 360.2 = 720 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA.

Kẻ AH vuông góc BC, DK vuông góc AC.

a) C/m góc BAD = góc BDA

b) C/m AD là phân giác của góc HAC

c) C/m AK = AH

d) C/m AB + AC < BC + AH

Lời giải:

a ) Do DB = BA = 2ΔBAD cân tại B

⇒ DAB = ADB

b ) Xét ΔABC vuông tại A

CAD + DAB = 90 độ

⇒ Xét ΔAND vuông tại N

DAN + ADN = 90 độ

Mà DAB - ADB

⇒ CAD - DAN

AD là phân giác của CAN

c) Xét hai tam giác vuông KAD và HAD

AD chung

KAD = DAN

⇒ ΔKAD = ΔCAN

⇒ KA = AN

d )

AC + AB = CK + KA + AB

BC + AN = CB + DB + AN

AN = KA

AB = BD

CD > CK

⇒ BC + AN > AC + AB

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông góc tại A,có AB = AC.Gọi K là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh tam giác AKB = tam giác AKC và AK vuông góc với BC.

b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AB tại E. Chứng minh EC song song với AK.

c) Chứng minh CE = CB.

Lời giải:

a) Xét tam giác AKB và AKC có:

AB = AC (giả thiết)

KB = KC (do K là trung điểm của BC)

AK chung

Do đó: △AKB = △AKC(c.c.c) (đpcm)

$\Rightarrow \widehat{AKB}=\widehat{AKC}$

Mà $\widehat{AKB}+\widehat{AKC}=\widehat{BKC}=180°$

Do đó: $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90°$

⇒ AK⊥BC (đpcm)

b) 

Ta thấy: EC⊥BC; AK⊥BC (đã cm ở phần a)

⇒ EC // AK (đpcm)

c) Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên $\widehat{B}=45°$

Tam giác CBE vuông tại C có $\widehat{B}=45°$

nên tam giác CBE cân tại C. Do đó CE = CB (đpcm)

Câu 5: Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là:

A. 19

B. 18

C. 31

D. 49

Lời giải:

Đáp án A

Theo giả thiết Đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

Dựa vào biểu đồ Ven ta thấy:

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: 6 – 3 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: 4 – 3 = 1 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa (không giỏi Toán) là: 5 – 3 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 10 – 3 – 3 – 1 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: 10 – 3 – 3 – 2 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: 11 – 1 – 3 – 2 = 5 (em)

Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn là:

3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 3 + 3 = 19 (em)

Câu 6: Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hoá, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hoá, 1 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp 10A là:

A. 9

B. 18

C. 10

D. 28

Lời giải:

Đáp án C

Số học sinh giỏi toán, lý mà không giỏi hóa: 3 – 1 = 2.

Số học sinh giỏi toán, hóa mà không giỏi lý: 4 – 1 = 3.

Số học sinh giỏi hóa, lý mà không giỏi toán: 2 – 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn lý: 5 – 2 – 1 − 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn hóa:  6 −3 – 1 – 1 = 1.

Số học sinh chỉ giỏi môn toán: 7 – 3 – 2 – 1 = 1.

Số học sinh giỏi ít nhất một (môn toán, lý, hóa) là số học sinh giỏi 1 môn hoặc 2 môn hoặc cả 3 môn: 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10.

Câu 7: Cho tam giác ABC. Có AB nhỏ hơn AC trên cạnh AB lấy điểm E sao cho

 BE =AC. Gọi I , D,F lần lượt là trung điểm của CE, AE , BC chứng minh 

a) tam giác IDF cân

b) góc BAC= 2IDF

Lời giải:

Xét ΔEAC có 

D là trung điểm của AE
I là trung điểm của CE

Do đó: DI là đường trung bình

⇒ DI // AC và $DI=\frac{AC}{2}$

Xét ΔEBC có 

F là trung điểm của BC

I là trung điểm của EC

Do đó: FI là đường trung bình

⇒ FI // EB và $FI=\frac{EB}{2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} FI=\frac{EB}{2} \\ DI=\frac{AC}{2} \end{gathered}$$

mà EB = AC nên IF = ID $\Rightarrow \widehat{IFD}=\widehat{IDF}$

hay ΔIFD cân tại I

Mà $\widehat{DFI}=\widehat{FDB}\left(FI//AB\right)$  nên $\widehat{FDI}=\widehat{FDB}$

$\iff \widehat{BDI}=2.\widehat{IDF}$ hay $\widehat{BAC}=2.\widehat{IDF}$ .

Câu 8: Cho tam giác ABC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE . Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chọn câu đúng nhất.

A. PQ vuông góc với MN .

B. Tứ giác PMQN là hình thoi.

C. Cả A, B đều đúng.     

D. Cả A, B đều sai.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC . (định nghĩa đường trung bình).

Đặt BD = CE = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

$$\begin{gathered} MP=\frac{1}{2}BD=a \\ NQ=\frac{1}{2}DB=a \\ NP=\frac{1}{2}CE=a \\ MQ=\frac{1}{2}CE=a \end{gathered}$$

Suy ra MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: MN⊥PQ

Câu 9: Nêu khái niệm hình chiếu? Cho ví dụ và phân tích?

Lời giải:

- Hình chiếu của vật thể là hình nhận được trên một mặt phẳng (người ta còn gọi hình chiếu là cái bóng của vật thể)

- Ví dụ: Ta lấy đèn pin chiếu thẳng vào mặt chính diện của một vật hình vuông, ta lấy mặt phẳng của bức tường để thu hình chiếu. Suy ra ta sẽ thu được hình chiếu trên vạch tường (hay cái bóng).

Câu 10: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho?

A. 4

B. 6

C. 12

D. 8

Lời giải:

Các vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho là:

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DB};\overrightarrow{DC}$

Câu 11: Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D. Từ các điểm trên ta có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ không?

Lời giải:

Ta có 4C2.2=12 vecto

Câu 12: $\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$ . Tính và rút gọn

Lời giải:

Câu 13: $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ . Tính và rút gọn

Lời giải:

Câu 14: cho tam giác ABC vuông tại A gọi M là trung điểm BC biết BC =13 tính AM

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến kẻ từ A xuống BC nên ta có:

$AM=\frac{1}{2}BC=\frac{13}{2}$

Vậy $AM=\frac{13}{2}$

Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC

a) cho BC = 10cm tính AM

b) gọi N là trung điểm của AB cho MN // AC

c) kẻ MD // AD chứng minh tứ giác ANMD là hình chữ nhật

Lời giải:

a) Xét △ ABC vuông tại A có :

AM là đường trung tuyến

Nên : $AM=\frac{BC}{2}$  ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

Mà : BC = 10 ( cm )

Suy ra : AM = 10 : 2 = 5 ( cm )

b) Xét △ ABC vuông tại A có :

M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AB

Nên : MN là đường trung bình của △ ABC

Do đó : MN // AC và $MN=\frac{AC}{2}$

c) Bạn nên sửa là MD // AB. ( D ∈ AC )

Xét Δ ACB có :

M là trung điểm của BC

MD // AB

Nên : MD là đường trung bình của △ ACB

Do đó : MD // AB và $MD=\frac{AB}{2}$

Hay : MD // AN ( N ∈ AB )

Lại có : MN // AD ( D ∈ AC )

Suy ra : ANMD là hình bình hành

Mà : Góc A = 90 độ

Vậy ANMD là hình chữ nhật

Câu 16: Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?

A. 752

B. 160

C. 156

D. 240

Lời giải:

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng $\overline{abcd}$ với a, b, c, d ∈ A  và đôi một khác nhau.

TH1: d = 0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có  5.4.3 = 60 số.

TH2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4

Khi đó có 4 cách chọn a( vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 số

Vậy có tất cả: 96 + 60 = 156 số.

Câu 17: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{abcde}$  (e chẵn và các chữ số khác nhau từng đôi một )
TH1 : e = 0
Chọn e : 1 cách
Chọn a : 5 cách
chọn b : 4 cách
chọn c : 3 cách
chọn d : 2 cách
=> Theo Quy tắc nhân có : 1.5.4.3.2 = 120 .
TH2 : e # 0
Chọn e : 2 cách
Chọn a : 4 cách
chọn b : 4 cách
chọn c : 3 cách
chọn d : 2 cách
→ Theo quy tắc nhân có :2.4.4.3.2  = 192
→ Có tất cả 192 + 120 = 312 số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Câu 18: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$

B. $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{QP}$

C. $\overrightarrow{3MN}=2\overrightarrow{QP}$

D. $\overrightarrow{3MN}=\overrightarrow{QP}$

Lời giải:

Chọn A.

+ Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC .

suy ra MN // AC và $MN=\frac{1}{2}AC$ (1).

+ Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC

suy ra QP // AC và $QP=\frac{1}{2}AC$ (2).

+ Từ (1) và (2) suy ra MN // QP và MN = PQ  do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Vậy ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$

Câu 19: Cho tứ giác ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành , IMPN là hình bình hành

Lời giải:

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm BC

→ MN là đường trung bình

→ MN//AC và $MN=\frac{1}{2}AC$  (1)

Xét tam giác ADC có:

P là trung điểm DC

Q là trung điểm AD

→ PQ là đường trung bình

→ PQ//AC và  $PQ=\frac{1}{2}AC$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}PQ//MN\\ PQ=MN\end{array}\right.$

→ MNPQ là hình bình hành

Câu 20: Cho các số 0;1;2;3;4;5;6;7. Từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 10

Lời giải:

Các số thỏa mãn ĐK Đề bài có dạng $\overline{abc0}$

+ Chọn 33 chữ số khác nhau từng đôi một từ {1;2;3;4;5;6;7} và xếp vào 3 vị trí

→ có $A_7^3=210$ cách

→ Có 210 số thỏa mãn ĐK Đề bài

Câu 21: Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 2, 4, 6, 7, 8, 9 là:

A. $A_4^6$

B. $C_6^4$

C. $A_6^4$

D. $C_4^6$

Lời giải:

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Số các số là: $A_6^4=360$ số.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22: Một trang trại cân thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Nơi cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?

Lời giải:

Gọi số xe loại lớn, nhỏ cần thuê lần lượt là x, y xe, (x, y ≥ 0, x, y ∈ Z)

→ T = 4x + 2y (triệu đồng) là số tiền thuê xe.

Suy ra để số tiền thuê xe nhỏ nhất thì T = 4x + 2y nhỏ nhất

Theo bài ta có:

$\left\{\begin{array}{c}0\le x\le 12\\ 0\le y\le 10\\ 40x+30y\ge 450\\ 5x+y\ge 35\end{array}\right.$

Vẽ miền nghiệm của hệ trên, thấy các điểm giao nhau là:

A (12, 10), B (12, 0), C (11.250), D (5,10), $E\left(\frac{60}{11},\frac{85}{11}\right)$

Suy ra:

T_A = 68, T_B = 48, T_C = 45, T_D = 40

→T_D nhỏ nhất vì x, y ∈ Z

→Cần thuê 5 xe lớn và 10 xe nhỏ

Câu 23: Chứng minh rằng: D = 1 + 4 + 4² + 4² + ... + 4⁵⁸ + 4⁵⁹ chia hết cho 21.

Lời giải:

D = 1 + 4 + 4² + 4² + ... + 4⁵⁸ + 4⁵⁹ 

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + …+ (4⁵⁷ + 4⁵⁸ + 4⁵⁹)

= (1 + 4 + 4²) + 4³.(1 + 4 + 4²) + …+ 4⁵⁷(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + …+ 4⁵⁷.21 chia hết 21.

Câu 24: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ +...+ 4¹¹. Chứng tỏ rằng:

a) A chia hết cho 21;

b) A chia hết cho 105;

c) A chia hết cho 4097.

Lời giải:

a) A=1 + 4 + 4² + 4³ + ... +4¹¹

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶ + 4⁷ + 4⁸) + (4⁹ + 4¹⁰ + 4¹¹)

= (1 + 4 + 4²) + (4³.1 + 4³.4 + 4³.4²) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4²) + (4⁹.1 + 4⁹.4 + 4⁹.4²)

= (1 + 4 + 4²).1 + 4³.(1 + 4 + 4²) + 4⁶.(1 + 4 + 4²) + 4⁹.(1 + 4 + 4²)

= 21.1 + 4³.21 + 4⁶.21 + 4⁹.21

= 21.(1 + 4³ + 4⁶ + 4⁹)

Suy ra A chia hết cho 21.

b) A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹¹

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶ + 4⁷ + 4⁸ + 4⁹ + 4¹⁰ + 4¹¹)

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4² + 4⁶.4³ + 4⁶.4⁴ + 4⁶.4⁵)

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵).1 + 4⁶.(1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵)

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.(1 + 4⁶)

Suy ra 1365 chia hết cho 105 nên A chia hết cho 105.

Câu 25: Người ta dùng mấy hình chiếu để biểu diễn khối tròn xoay?  

A. 1  

B. 2  

C. 3  

D. 4

Lời giải:

Chọn đáp án: B

Giải thích: Vì có 2 hình chiếu trùng nhau.

Câu 26: x² – 16 + 4y² + 4xy. Phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải:

x² – 16 − 4xy + 4y²

= (x² − 2.x.2y + 2y²) – 4²

= (x − 2y)² – 4²

= (x − 2y − 4)(x − 2y + 4)

Câu 27: Phân tích đa thức thành nhân tử 16 - x² - 4xy - 4y²

Lời giải:

16 – x² – 4xy – 4y²

= 16 – (x² + 4xy + 4y²)

= 4² – (x + 2y)²

= (4 – x – 2y)(4 + x + 2y)

Câu 28: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC

a. CMR: ER = AH
b.Kẻ trung tuyến Am của tam giác ABC. C/m: AM⊥ EF

Lời giải:

a) EHFA có góc HEA = HFA = EAF = 90⁰ nên tứ giác đó là hình chữ nhật

⇒ EF =AH ( 2 đường chéo)

b) Gọi EF cắt AH tại I

Gọi AM cắt EF tại N

Góc BHE = HCA (2 góc đồng vị)

Mà BHE + EBH = BHE + EHI = 90

⇒ EBH = EHI (1)

Theo tính chất hình chữ nhật EI = IH => EHI = IEH (2)

MB = MA ⇒ MBE = MAB (3)

Từ (1),(2),(3) ⇒ IEH = BAM

Mặt khác IEH + IEA = 90 ⇒ BAM + IEA = 90

⇒ ANE = 90

⇒ AM vuông góc EF tại N

Câu 29: Một gương phẳng hình tròn đường kính 10 cm đặt trên bàn cách trần nhà 2m mặt phản xạ hướng lên . Ánh sáng từ bóng đèn bin (nguồn sáng điểm) cách trần nhà 1m

a, Hãy tính đường kính vệt sáng trên trần nhà

b. Cần phả dịch bóng đèn về phía nào vuông góc với gương một đoạn bao nhiêu để đường kính vệt sáng tăng gấp đôi

Lời giải:

a) Xét tam giác S’IA đồng dạng với tam giác S’I’A’ có:

$\frac{S\text{'}I}{S\text{'}I\text{'}}=\frac{IA}{I\text{'}A\text{'}}=\frac{BA}{B\text{'}A\text{'}}\Rightarrow A\text{'}B\text{'}=\frac{S\text{'}I\text{'}.BA}{S\text{'}I}=\frac{S\text{'}I+II\text{'}}{S\text{'}I}.BA$

mà SI = S'I → A'B'= 30cm

b) Để đường kính vệt sáng tăng gấp đôi ta phải di chuyển bóng đèn đến gần gương khi đó

$$\begin{gathered} \frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{60}{10}=\frac{SI+II\text{'}}{SI}\Rightarrow 6SI=SI+II\text{'}\Rightarrow 5SI=II\text{'} \\ \to SI=\frac{II\text{'}}{5}=\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}\left(m\right)=40cm \end{gathered}$$

Vậy ta phải dịch bóng đèn lại gần gương một đoạn là:
H = 100 – 40 = 60(cm).

Câu 30: Cho DABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:

$\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|$

Lời giải:

a) Gọi K là điểm thoả mãn: 

L là điểm thoả mãn: $3\overrightarrow{LB}-2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|\iff \left|\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{ML}\right|$

Vậy Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.

Câu 31: Giải phương trình:

$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2$

Lời giải:

ĐK: x² + x + 1 ≥ 0 và x – x² + 1 ≥ 0.

Nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si mỗi hạng số vế trái ta được:

$\sqrt{(x^2+x+1).1}\le \frac{x^2+x-1+1}{2}=\frac{x^2+x}{2}$ (1)

$\sqrt{(x-x^2+1).1}\le \frac{x-x^2+1+1}{2}=\frac{-x^2+x+2}{2}$ (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:

$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x-x^2+1}\le \frac{x^2+x}{2}+\frac{-x^2+x+2}{2}=x+1$

Nên theo đề ta có: x² – x + 2 ≤ x + 1 $\Rightarrow$ (x – 1)² ≤ 0.

Đẳng thức xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1.

Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

Câu 32: Phân tích đa thức x⁴ + 2x³ – 4x – 4 thành nhân tử.

Lời giải:

x⁴ + 2x³ – 4x – 4

= (x⁴ – 4) + (2x³ – 4x)

= (x² + 2)(x² – 2) + 2x(x² – 2)

= (x² – 2)(x² + 2x + 2)

Câu 33: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y – 2z – 5 = 0 là:

A. –x + 3y = 0;

B. 2x + 3y = 0;

C. 2y – z = 0;

D. 2y + z = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D.

Trục Ox có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;0;0)$  và đi qua điểm O (0; 0; 0)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(3;1;-2)$

Do mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(0;2;1\right)$

 Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}$  và đi qua điểm O là:

2y + z =0

Câu 34: Đạo hàm của hàm số $y={\left(3-x^2\right)}^{\frac{2}{3}}$  tại x = 1 là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$$\begin{gathered} y={\left(3-x^2\right)}^{\frac{2}{3}}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{2}{3}{\left(3-x^2\right)}^{\frac{-1}{3}}.{\left(3-x^2\right)}^{\text{'}} \\ =\frac{2}{3}{\left(3-x^2\right)}^{\frac{-1}{3}}\left(-2x\right) \\ =\frac{-4x}{3}{\left(3-x^2\right)}^{\frac{-1}{3}} \end{gathered}$$

Vậy $y^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{-4}{3}{.2}^{\frac{-1}{3}}=\frac{-4}{3.\sqrt[3]{2}}=\frac{-2\sqrt[3]{4}}{3}$ .

Câu 35: Một hình chữ nhật có chiều dài là 12m, chiều rộng là 8m. một hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật. Diện tích hình vuông đó là:

A. 80 m²;

B. 90 m²;

C. 100 m²;

D. 110 m².

Lời giải:

Đáp án đúng là: D.

Chu vi hình chữ nhật là:

(12 + 8). 2 = 40 ( m).

Vì chu vi hình vuông bằng chu vi hình chữ nhật nên chu vi hình vuông bằng 40 m.

Suy ra cạnh của hình vuông đó là: 40 : 4 = 10 ( m).

Vậy diện tích của hình vuông đó là: 10. 10 = 100 ( m²).

Câu 36: Chứng minh với a, b, c ∈ ℝ ta có:

(a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3(ab + bc + ca)³ + +²²²²²

Lời giải:

Áp dúng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a² + b² ≥ 2ab;

b² + c² ≥ 2bc;

c² + a² ≥ 2ca.

Cộng vế với vế ta có:

2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (*)

Mặt khác (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.

Từ  (*) suy ra: (a + b + c)² ≥ 3 (ab + bc + ca)

⇔ (a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3 (ab + bc + ca). (ab + bc + ca)²

⇔ (a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3(ab + bc + ca)³ (đpcm).+ +²²²²²

Câu 37: Giải phương trình $\sin 2x+\cos \left(6x+\frac{\pi }{3}\right)=0$

Lời giải:

Câu 38: Giải phương trình $2\sin 2x+\sqrt{2}\sin 4x=0$

Lời giải:

Câu 39: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x² – 2x + 1.

Lời giải:

Ta có:

A = 3x² – 2x + 1  

$$\begin{gathered} =3\left(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)=3\left(x^2-2.x.\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{2}{9}\right) \\ =3\left[{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{2}{9}\right]=3{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Với mọi giá trị của x ∈ ℝ ta có: ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2\ge 0\iff 3{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}\ge \frac{2}{3}$

Vậy A_min = $\frac{2}{3}$  khi $x=\frac{1}{3}$ .

Câu 40: Cho A = [m; m + 1] và B = (-1; 3). Tìm điều kiện để A ∩ B = Ø.

Lời giải:

TH1: m + 1 ≤ -1 ⇔ m ≤ -2. Khi đó khoản biểu diễn của A nằm bên trái B và không trung điểm nào với đoạn biểu diễn B.

TH2: m ≥ 3. Khi đó khoảng biểu diễn của A nằm bên phải B và không trùng điểm nào với đoạn biểu diễn B.

Vậy với m ≤ −2 hoặc m ≥ 3 thì A ∩ B = Ø.

Câu 41: Phân tích x² – 5x + 6 thành nhân tử.

Lời giải:

x² – 5x + 6 = x² – 2x – 3x + 6

= (x² – 2x) – (3x – 6)

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

Câu 42: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số nhỏ hơn 2811?

Lời giải:

Ta xét các trường hợp:

TH1. Chữ số hàng nghìn là số 1. Ta có tổng số số nhỏ hơn 2811 là:

1. 9. 9. 9 = 729

TH2. Chữ số hàng nghìn là số 2.

Chữ số hàng trăm là số < 8 suy ra có 7 cách chọn.

Chữ số hàng chục và đơn vị có 9 cách chọn.

Tổng số: 1. 7. 9. 9 =  567

Vậy tổng số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

1290 số.

Câu 43: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác OBH vuông tại H ta có:

$$\begin{gathered} BH=\frac{a}{2} \\ \widehat{OBH}=30° \\ \tan 30°=\frac{OH}{BH}\Rightarrow OH=\frac{BH}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{6} \end{gathered}$$

Câu 44: Chứng minh P(n) = n⁴ – 14n³ + 71n² – 154n + 120 chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n khác 0.

Lời giải:

P(n) chia hết cho 24 hay P(n) chia hết cho 2; 3 và 4.

Ta có:

n⁴ – 14n³ + 71n² – 154n + 120

= n⁴ – 2n³ – 12n³ + 24n² + 47n² – 94n – 60n + 120

= n³(n – 2) – 12n²(n – 2) + 47n(n – 2) – 60(n – 2)

= (n – 2)(n³ – 3n² – 9n² + 27n + 20n – 60)

= (n – 2)[n²(n – 3) – 9n(n – 3) + 20(n – 3)]

= (n – 2)(n – 3)(n² – 4n – 5n + 20)

= (n – 2(n – 3)[n(n – 4) – 5(n – 4)]

= (n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)

Đây là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên : Chắc chắn sẽ có 1 số chia hết cho 2; 3 và 4.

Suy ra P(n) chia hết cho 2; 3 và 4 hay P(n) chia hết cho 24 ( đpcm).

Câu 45: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách:

A. 46;

B. 69;

C. 48;

D. 40.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_8^3=56$

Gọi A là: “ 3 người được chọn có ít nhất 1 nữ”

Suy ra $\overline{A}$  là: “3 người được chọn không có bạn nữ nào”.

Khi đó:

$n\left(\overline{A}\right)=C_5^3=10$.

Suy ra $n\left(A\right)=n\left(\Omega \right)-n\left(\overline{A}\right)=56-10=46$ ( cách).

Câu 46: Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 người để làm ban đại diện?

A. 34 cách;

B. 45 cách;

C. 56 cách;

D. 67 cách.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì 5 người được chọn không phân biệt nam nữ nên số cách là:

$C_8^5=56$ ( cách).

Câu 47: Tìm x biết 3x + 5 chia hết cho x – 1

Lời giải:

ĐK: x ∈ ℤ.

Ta có: $\left(x-1\right)⋮\left(x-1\right)\Rightarrow \left(3x-3\right)⋮\left(x-1\right)$ .

Đề $\left(3x+5\right)⋮\left(x+1\right)$  thì

$\left(3x+5-3x+3\right)⋮\left(x-1\right)\iff 8⋮\left(x-1\right)$

Suy ra (x – 1) ∈ Ư(8) = {1; - 1; 2; -2; 4; -4; 8; - 8}

Hay x ∈ {2; 0; 3; -1; 5; -3; 9; -7}

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 3)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 4)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 5)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 6)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 7)