Chứng minh với a, b, c ∈ ℝ ta có: (a + b + c)^2. (ab + bc + ca)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)^3

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 465 30/08/2024

Trang trước

Trang sau

Chứng minh với a, b, c ∈ ℝ ta có: (a + b + c)^2. (ab + bc + ca)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)^3

Đề bài: Chứng minh với a, b, c ∈ ℝ ta có:

(a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3(ab + bc + ca)³ + +²²²²²

*Phương pháp giải

Một số kĩ thuật cơ bản:

+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức

+ Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức

+ Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức

+ Kỹ thuật đặt biến phụ

+ Kỹ thuật sắp thứ tự các biến.

+ Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến

*Lời giải:

Áp dúng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a² + b² ≥ 2ab;

b² + c² ≥ 2bc;

c² + a² ≥ 2ca.

Cộng vế với vế ta có:

2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (*)

Mặt khác (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.

Từ (*) suy ra: (a + b + c)² ≥ 3 (ab + bc + ca)

⇔ (a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3 (ab + bc + ca). (ab + bc + ca)²

⇔ (a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3(ab + bc + ca)³ (đpcm).

*Cách giải

a) Bất đẳng thức Cô – si

Cho hai số không âm a, b, ta luôn có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Mở rộng:

a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

b. Với n số Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki không âm, ta luôn có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho a1, a2, b1, b2 là những số thực, ta có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Mở rộng: Với các số thực a1, a2, b1, b2, a3, b3, ta luôn có:

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

+ +²²²²²

Từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số...

Từ các số của tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm...

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC, trên cạnh BC lấy điểm D...

Cho tam giác ABC vuông góc tại A,có AB = AC.Gọi K là trung điểm của cạnh BC...

Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa...

Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá...

Cho tam giác ABC. Có AB nhỏ hơn AC trên cạnh AB lấy điểm E sao cho...

Cho tam giác ABC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E...

Nêu khái niệm hình chiếu? Cho ví dụ và phân tích...

Cho tam giác ABC cố định (AB < AC). Hai điểm D, E theo thứ tự chuyển động...

Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không....

Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D. Từ các điểm trên ta có thể lập được...

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ . Tính và rút gọn...

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ . Tính và rút gọn...

Cho tam giác ABC vuông tại A gọi M là trung điểm BC biết BC...

Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC...

Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn...

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn...

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA...

Cho tứ giác ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BC...

Cho các số 0;1;2;3;4;5;6;7. Từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4 chữ số...

Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 2, 4, 6, 7, 8, 9 là...

Một trang trại cân thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám...

Chứng minh rằng: D = 1 + 4 + 4²+ 4²+ ... + 4⁵⁸+ 4⁵⁹ chia hết cho 21...

Cho A = 1 + 4 + 4²+ 4³+...+ 4¹¹. Chứng tỏ rằng...

Người ta dùng mấy hình chiếu để biểu diễn khối tròn xoay...

x²– 16 + 4y²+ 4xy. Phân tích đa thức thành nhân tử...

Phân tích đa thức thành nhân tử 16 - x² - 4xy - 4y²...

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là...

Một gương phẳng hình tròn đường kính 10 cm đặt trên bàn cách trần nhà 2m...

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho...

Cho DABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau...

Giải phương trình: căn (x^2 + x + 1)...

Phân tích đa thức x^4 + 2x^3 – 4x – 4 thành nhân tử...

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc...

Đạo hàm của hàm số y = (3 - x^2)^ 2/3...

Một hình chữ nhật có chiều dài là 12m, chiều rộng là 8m. một hình vuông có chu vi...

Chứng minh với a, b, c ∈ ℝ ta có: (a + b + c)^2. (ab + bc + ca)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)^3...

Giải phương trình sin 2x + cos (6x + pi/3) = 0...

Giải phương trình 2sin2x + căn 2 sin 4x = 0...

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x^2 – 2x + 1...

Cho A = [m; m + 1] và B = (-1; 3). Tìm điều kiện để A ∩ B = Ø...

Phân tích x^2 – 5x + 6 thành nhân tử...

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số...

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng...

Chứng minh P(n) = n^4 – 14n^3 + 71n^2 – 154n + 120 chia hết cho 24...

Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ...

Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 người...

Tìm x biết 3x + 5 chia hết cho x – 1...

1 465 30/08/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: