1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 5)

1500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 5)

Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi φ là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD). Tính cot φ?

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó ta có $SH\perp AB\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$  nên hình chiếu của SD trên (ABCD) là HD.

Do đó $\widehat{SD,\left(ABCD\right)}=\widehat{SD,HD}=\widehat{SDH}.$

Mặt khác tam giác SAB đều cạnh a nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra $HD=\sqrt{A{H}^2+A{B}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Khi đó xét tam giác vuông SHD, ta có: $\cot \widehat{SHD}=\frac{DH}{SH}=\frac{5}{\sqrt{15}}.$

Câu 2: Khối chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $SA=SB=SC=a,$  cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S. ABCD là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi I là tâm của hình thoi ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt (ABCD).

Ta có $SA=SB=SC$  nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay $H\in BI.$

Ta có: $S{I}^2=S{A}^2-I{A}^2=a^2-I{A}^2,I{B}^2=A{B}^2-I{A}^2=a^2-I{A}^2\Rightarrow SI=IB.$

Khi đó tam giác SBD vuông tại S. Giả sử $SD=x.$  Ta có

$SB.SD=SH.BD\iff a.x=SH.BD\iff SH=\frac{a.x}{BD}.$

Ta có: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{3}\frac{a.x}{BD}.\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{6}a.x.AC.$

Ta có:

$B{D}^2=S{B}^2+S{D}^2=a^2+x^2\Rightarrow I{B}^2=\frac{a^2+x^2}{4}\Rightarrow I{A}^2=a^2-\frac{a^2+x^2}{4}=\frac{3a^2-x^2}{4}.$

Suy ra $AC=2IA=2\sqrt{\frac{3a^2-x^2}{4}}=\sqrt{3a^2-x^2}.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{6}a.x.\sqrt{3a^2-x^2}\le \frac{a}{6}.\frac{x^2+3a^2-x^2}{2}=\frac{a^3}{4}.$

Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên dương không lớn hơn 2020 mà chia hết cho 2 hoặc cho 3?

Lời giải:

Số các số chia hết cho 2 là: $\frac{2020-2}{2}+1=1010.$

Số các số chia hết cho 3 là: $\frac{2019-3}{3}+1=673.$ 

Số các số chia hết cho cả 2 và 3 (đồng nghĩa là chia hết cho 6) là: $\frac{2016-6}{6}+1=336.$

Vậy các số thỏa mãn đề bài ra là: $1010+673-336=1347.$

Câu 4: Phương trình $2{\cos }^{2}x=1$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[-2\text{π;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2π}\right]$

Lời giải: Ta có:

$2{\cos }^{2}x=1\iff 2{\cos }^{2}x-1=0\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{\text{π}}{\text{2}}+k\text{π}\iff x=\frac{\text{π}}{4}+\frac{k\text{π}}{2};k\in {\rm Z}$

Vì $x\in \left[-2\text{π;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2π}\right]$  nên ta có: $-2\text{π}\le \frac{\text{π}}{4}+\frac{k\text{π}}{2}\le 2\text{π}\iff \frac{-9}{2}\le k\le \frac{7}{2}.$

Mặt khác k là số nguyên nên k sẽ nhận các giá trị: $-4;-3;-2;-1;0;1;2;3.$

Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm trên đoạn $\left[-2\text{π;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2π}\right].$

Câu 5: Khối chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình bình hành. Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều cả 5 điểm S, A, B, C, D?

Lời giải: Có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm S, A, B, C, D. Cụ thể như sau:

+ Mặt phẳng đi qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: có 1 mặt.

+ Mặt phẳng đi qua tâm O và song song với từng mặt bên: có 4 mặt như vậy.

Câu 6: Khối chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S. ABCD thành mấy khối tứ diện.

Lời giải: Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối tứ diện là S.ABC và S.ACD.

Câu 7: Tứ diện đều có bao nhiêu trục đối xứng?

Lời giải: Tứ diện đều có ba trục đối xứng đó là ba đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối của nó.

Câu 8: Gọi $n_1,n_2,n_3$  lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Tính các giá trị của $n_1,n_2,n_3$

Lời giải: Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện) nên $n_1=3.$

Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác) nên $n_2=1.$

Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện; Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện) nên $n_3=9.$

Câu 9: Trong hình học không gian:

A.   Điểm luôn luôn phải thuộc mặt phẳng.

B.   Điểm luôn luôn không phải thuộc mặt phẳng.

C.   Điểm vừa thuộc mặt phẳng đồng thời không thuộc mặt phẳng.

D.   Điểm có thể thuộc mặt phẳng, có thể không thuộc mặt phẳng.

Lời giải: Đáp án D.

Câu 10: Trong hình học không gian:

A.   Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.

B.   Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.

C.   Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.

D.   Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

Lời giải: Đáp án D.

Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15?

Lời giải: Gọi số cần tìm có dạng $N=\overline{abcd}.$  Do N chia hết cho 15 nên N phải chia hết cho 3 và 5.

Vì vậy d có 1 cách chọn là bằng 5, và (a+b+c+d) chia hết cho 3.

Do vai trò của các chữ số a, b, c là như nhau, mỗi số a, b và c có 9 cách chọn nên ta xét các trường hợp sau

TH1: Nếu $a+b+d$  chia hết cho 3, khi đó c chia hết cho 3$\Rightarrow c\in \text{{}3;6;9\}\Rightarrow$ c có 3 cách chọn.

TH2: Nếu $a+b+d$  chia cho 3 dư 1, khi đó c chia 3 dư 2$\Rightarrow c\in \text{{2};5;8\}\Rightarrow$  c có 3 cách chọn.

TH3: Nếu $a+b+d$  chia cho 3 dư 2, khi đó c chia 3 dư 1 $\Rightarrow c\in \text{{1};4;7\}\Rightarrow$ c có 3 cách chọn.

Vậy trong mọi trường hợp thì c đều có 3 cách chọn nên ta có tất cả $\mathrm{9.9.3.1}=243$  số thỏa mãn.

Câu 12: Giải phương trình: $\sin \left(2x+\frac{3\text{π}}{4}\right)+\cos x\text{\hspace{0.17em}= 0}$

Lời giải: Ta có

$$\begin{gathered} \sin \left(2x+\frac{3\text{π}}{4}\right)+\cos x\text{\hspace{0.17em}= 0}\iff \cos x=\sin \left(-2x-\frac{3\text{π}}{4}\right) \\ \iff \cos x=\sin \left(\frac{\text{π}}{2}-\left(2x+\frac{\text{5π}}{4}\right)\right)\iff \cos x=\cos \left(2x+\frac{\text{5π}}{4}\right) \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=2x+\frac{\text{5π}}{4}+k2\text{π}\\ x=-2x-\frac{\text{5π}}{4}+k2\text{π}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\text{5π}}{4}-k2\text{π}\\ x=-\frac{\text{5π}}{12}+\frac{2}{3}k\text{π}\end{array}\right.(k\in {\rm Z}) \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm là: $x=-\frac{\text{5π}}{4}-k2\text{π}$  và  $x=-\frac{\text{5π}}{12}+\frac{2}{3}k\text{π.}$

Câu 13: Lớp 11A1 có 41 học sinh trong đó có 21 bạn nam và 20 bạn nữ. Thứ hai đầu tuần lớp phải xếp hàng chào cờ thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 21 bạn nam xen kẽ với 20 bạn nữ?

Lời giải: Vì số học sinh nam là lẻ nên bạn nam phải đứng đầu hàng.

Khi đó xếp 21 bạn nam vào 21 vị trí cố định có: $21!=P_{21}$  (cách).

Sau đó ta xếp 20 bạn nữ vào 20 vị trí trống xen kẽ với các bạn nam thì sẽ có: $20!=P_{20}$  (cách).

Vậy có tất cả số cách là: $20!.21!=P_{20}.P_{21}$ .

Câu 14: Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. y = sinx – cosx;

B. y = 2sinx;

C. y = 2sin(-x);

D. y = 0 – 2cosx.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Câu 15: Một hình trục có chiều cao bằng 6cm nội tiếp trong hình cầu có bán kính bằng 5cm. Thể tích khối trụ này bằng bao nhiêu?

Lời giải: Ta có hình vẽ sau:

Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Vậy thể tích của khối trụ cần tính là: $V=\text{π}{r}^2.h=\text{π}{.4}^2.6=96\text{π}.$

Câu 16: Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Tính vecto DM.

Lời giải: Ta sẽ phân tích vecto DM theo hai vecto DC và BC.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

Mặt khác M là trung điểm của AB nên 

$2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\iff 2\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\iff 2\overrightarrow{DM}=-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$

Suy ra $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}.$

Câu 17: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.

Lời giải: Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$

+ TH1: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí ab. Khi đó: a có 3 cách chọn; b có 2 cách chọn; c có 4 cách chọn; d có 3 cách chọn và e có 2 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có: $\mathrm{3.2.4.3.2}=144$  (số).

+ TH2: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí bc. Khi đó: a có 3 cách chọn; b có 3 cách chọn; c có 2 cách chọn; d có 3 cách chọn và e có 2 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có: $\mathrm{3.3.2.3.2}=108$  (số).

+ TH3: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí cd (tượng tự TH2).

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $144+108.2=360$  (số).

Câu 18:Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).

b) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính tanφ.

c) Gọi (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định (α) và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α).

Lời giải:

 

a) Ta có:

⇒ (SCD) ⊥ (SAD)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC).

Vậy (SBC) ⊥ (SAC).

b) Ta có:

c) 

Vậy (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng a√2. Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có SH ⊥ DI và   .

Tam giác SDI có diện tích:

.

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=3, AC=2; ABC là tam giác vuông cân tại B. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Ta có SA = SB = SC nên hình chiếu của đinh S xuống mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà ABC là tam giác vuông cân tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm H của AC.

Ta có: Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}\mathrm{.2.1}=1$ .

Xét tam giác SAC, có: SH = $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$ .

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{SABC}=\frac{1}{3}\mathrm{.1.2}\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Câu 20: Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

Lời giải: Số phần tử của không gian mẫu là: $\left|\Omega \right|=C_6^1.C_6^1=6.6=36.$

Câu 21: Xét phép thử T: “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất” và biến cố A liên quan đến phép thử: “Mặt lẻ chấm xuất hiện”. Tính xác suất của biến cố A.

Lời giải: Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}n\left(\Omega \right)=6\\ n\left(A\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Câu 22: Tìm m để $m{x}^2-2(m+1)x+m+3=0$  là phương trình bậc hai nhận x = -2 là nghiệm.

Lời giải: Ta có phương trình $m{x}^2-2(m+1)x+m+3=0$  là phương trình bậc hai khi $m\ne 0.$

Thay $x=-\mathrm{2,}$  ta được: $m{(-2)}^2-2(m+1)(-2)-m+3=0$

$\iff 9m+7=0\iff m=-\frac{7}{9}$  (thỏa mãn)

Vậy $m=-\frac{7}{9}.$

Câu 23: Cho hàm số y = x + 4 (d).

a) Vẽ đồ thị của hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tính diện tích của ∆AOB (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xen ti mét)

Lời giải:

a) y = x + 4 (d).

• Với x = 0 Þ y = 4;

• Với y = 0 Þ x = −4.

Vậy đồ thị hàm số (d): y = x + 4 đi qua hai điểm A(0; 4) và B(−4; 0).

b) Ta có OA = 4 và OB = 4.

Do đó, diện tích của ∆AOB là: $S_{OAB}=\frac{1}{2}\mathrm{.4.4}=8\left(c{m}^2\right)$ .

Câu 24: Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 3 (1) (với m ≠ 1)
a) Xác định m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thắng y = −x + 1
b) Xác định m để đường thắng y =1 − 3x , đường thẳng y = −0,5x − 1,5 và đồ thị hàm số (1) cùng đi qua một điểm.

Lời giải:

a) Để đồ thị hàm số (1) song song với đường thắng y = −x + 1 thì
m − 1 = −1 ⇒ m = 0.

b) Hoành độ giao điểm của đường thắng y =1 − 3x , đường thẳng y = −0,5x − 1,5 là nghiệm của phương trình:

1 − 3x = −0,5x − 1,5

⇒ 3x − 0,5x = 1 + 1,5

⇒ 2,5x = 2,5

⇒ x = 1

Với x = 1 Þ y = 1 − 3.1 = −2.

Vậy hai đường thẳng y =1 − 3x và y = −0,5x − 1,5 cắt nhau tại điểm M(1; −2).

Để đường thắng y =1 − 3x , đường thẳng y = −0,5x − 1,5 và đồ thị hàm số (1) cùng đi qua một điểm thì đồ thị hàm số (1) phải đi qua điểm M.

Suy ra −2 = (m − 1).1 + 3

⇒ −2 = (m − 1) + 3 ⇒ m = −4.

Câu 25: Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d = 3°. Tìm số đo của các góc đó

Lời giải:

Tổng số đo các góc của đa giác lồi 9 cạnh là: (9 − 2).180° = 1260°

$$\begin{gathered} \Rightarrow S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}=1260 \\ \Rightarrow \frac{9\left[u_1+\left(9-1\right).3\right]}{2}=1260 \end{gathered}$$

⇒ u₁ = 128°.

Vậy số đo các góc là: 128°; 131°; 134°; 137°; 140°; 143°; 146°; 149°; 152°.

Câu 26: Tổng số đo các góc của đa giác đều 9 cạnh là:

A. 900°;

B. 1026°;

C. 1080°;

D. 1260°.

Lời giải:

Tổng các góc của đa giác 9 cạnh bằng: (9 − 2) . 180° = 1260°.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 27: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(3; 4).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$  Þ $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-1\right)$

Phương trình đường thẳng qua A(1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-1\right)$  là:

1(x − 1) − 1(y − 2) = 0

⇒ x − y + 1 = 0.

Câu 28: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(−1; −2) và B(3; −10)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(4;-8\right)$  Þ $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(2;1\right)$ .

Phương trình đường thẳng qua A(−1; −2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(2;1\right)$  là:

2(x + 1) + 1(y + 2) = 0

⇒ 2x + y + 4 = 0.

Câu 29: Tìm m để đồ thị hàm số y = x² − mx + 1 đi qua điểm M(1; 2)

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; 2) nên ta có phương trình:

2 = 1² − m.1 + 1

⇒ 2 − m = 2 ⇒ m = 0

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Câu 30: Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số f (2x − 2) − 2e^x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0; 1);

B. (1; +∞);

C. (−∞; −1);

D. (−2; 0).

Lời giải:

Đặt g (x) = f (2x − 2) − 2e^x ta có:

g '(x) = 2f '(2x − 2) − 2e^x

= 2[f '(2x − 2) − e^x]

Với x thuộc (0; 1) ta có:

$\left\{\begin{array}{l}2x-2\in \left(2;0\right)\Rightarrow f\text{'}\left(2x-2\right)<0\\ x\in \left(0;1\right)\Rightarrow e^x\in \left(1;e\right)>0\end{array}\right.$

⇒ g '(x) = 2[f '(2x − 2) − e^x] < 0, ∀ x $\in$ (0; 1)

⇒ Hàm số f (2x − 2) − 2e^x nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 31: Cho hàm số y = 3x – 2.

a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số.

b) Tìm phương trình đường thẳng song song với (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Lời giải:

a) Với x = 0 Þ y = 3.0 − 2 = − 2. Suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; −2).

Với y = 0 Þ 3x − 2 = 0 $\iff x=\frac{3}{2}$ . Suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm $B\left(\frac{3}{2};0\right)$ .

Đồ thị hàm số (d):

Câu 32: Tìm hệ số của x¹²y¹³ trong khai triển (2x + 3y)²⁵.

Lời giải:

${\left(2x+3y\right)}^{25}=C_{25}^k{\left(2x\right)}^{25-k}.{\left(3y\right)}^k=C_{25}^k{.2}^{25-k}{.3}^k.x^{25-k}.y^k$.

Ta có: x¹²y¹³ Þ k = 13.

Vậy hệ số của x¹²y¹³ trong khai triển (2x + 3y)²⁵ là $C_{25}^{13}{.2}^{12}{.3}^{13}$ .

Câu 33: Cho hàm số: y = (m − 5)x + 1 (m là tham số).

a) Tìm m để hàm số trên là hàm số bậc nhất 

b) Với giá trị nào của m thì hàm số trên đồng biến; nghịch biến trên ℝ?

Lời giải:

a) Để hàm số trên là hàm số bậc nhất thì:

m − 5 ≠ 0 ⇒ m ≠ 5.

b) Với m ≠ 5 thì y' = m – 5.

Để hàm số trên đồng biến thì y' = m − 5 > 0 ⇒ m > 5.

Để hàm số trên nghịch biến thì y' = m − 5 < 0 ⇒ m < 5.

Câu 34: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^{10}$ mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần.

Lời giải:

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

$t_{k+1}=C_{10}^k{x}^{10-k}{\left(\frac{2}{x}\right)}^k$.

Vậy $t_5=C_{10}^4{x}^{10-4}.{\left(\frac{2}{x}\right)}^4=210.x^6.\frac{16}{x^4}=3360x^2$ .

Câu 35: Cho a² + b² + c² = ab + bc + ca. Chứng minh a = b = c   .

Lời giải:

Ta có: a² + b² + c² = ab + bc + ca

⇒ 2(a² + b² + c²) = 2(ab + bc + ca)

⇒ 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca

⇒ (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) = 0

⇒ (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0

Mà (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

$\left\{\begin{array}{l}{\left(a-b\right)}^2=0\\ {\left(b-c\right)}^2=0\\ {\left(c-a\right)}^2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ c=a\end{array}\right.\iff a=b=c$ (đpcm)

Câu 36: Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Lời giải:

Giả sử a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

⇒ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇒ 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ca

⇒ (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) ≥ 0

⇒ (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0

Mà (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (đpcm).

Câu 37: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 4x² + 4x + 11.

Lời giải:

A = 4x² + 4x + 11

= 4x² + 4x + 1 + 10

= (2x + 1)² + 10

Vì (2x + 1)² ≥ 0 nên (2x + 1)² + 10 ≥ 10.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x + 1 = 0 $\iff x=\frac{-1}{2}$ .

Vậy GTNN của A = 10 khi $x=\frac{-1}{2}$ .

Câu 38: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4x² − 4x + 11.

Lời giải:

A = 4x² − 4x + 11

= 4x² − 4x + 1 + 10

= (2x − 1)² + 10

Vì (2x − 1)² ≥ 0 nên (2x − 1)² + 10 ≥ 10

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x − 1 = 0 $\iff x=\frac{1}{2}$ .

Vậy GTNN của A = 10 khi $x=\frac{1}{2}$ .

Câu 39: Giải phương trình nghiệm nguyên: x² + 2xy = 5y + 6.

Lời giải:

x² + 2xy = 5y + 6

⇒ x² + 2xy + y² = y² + 5y + 6 (1)

⇒ (x + y)² = (y + 2)(y + 3).

Vì (x + y)² bằng tích của hai số nguyên liên tiếp là (y + 2) và (y + 3) nên một trong hai số (y + 2) và (y + 3) phải có một số bằng 0.

Khi đó:

• Với y + 2 = 0 ⇒ y = −2 Þ x = 2;

• Với y + 3 = 0 ⇒ y = −3 Þ x = 3.

Vậy cặp nghiệm nguyên (x; y) của phương trình là {(2; −2); (3; −3)}.

Câu 40: Giải phương trình nghiệm nguyên: x² − 2xy + 5y² = y + 1.

Lời giải:

x² − 2xy + 5y² = y + 1 (1)

⇒ x² − 2xy + y² = −4y² + y + 1

⇒ (x − y)² = −4y² + y + 1

Vì (x − y)² ≥ 0 nên −4y² + y + 1 ≥ 0

Suy ra $\frac{1-\sqrt{17}}{8}\le y\le \frac{1+\sqrt{17}}{8}$ .

Vì y Î ℤ Þ y = 0.

Với y = 0 thì phương trình (1) trở thành:

(1) ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1.

Vậy cặp nghiệm nguyên (x; y) của phương trình là {(1; 0); (−1; 0)}.

Câu 41: Chứng minh a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Lời giải:

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:

0 < a < b + c ⇒ a² < a(b + c) = ab + ca;

0 < b < c + a ⇒ b² < b(c + a) = bc + ab;

0 < c < a + b ⇒ c² < c(a + cb) = ca + bc

Do đó suy ra a² + b² + c² < (ab + ca) + (bc + ab) + (ca + bc)

Þ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

Câu 42: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, BC = 6. Tính $\cos \left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$ .

Lời giải:

$\cos \left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=\cos \left(180°-\widehat{A}\right)=-\cos \widehat{A}$

Mà $\cos \widehat{A}=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2AC.AB}=\frac{5^2+4^2-6^2}{\mathrm{2.5.4}}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow \cos \left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=-\frac{1}{8}$.

Câu 43: Chứng minh rằng x²⁰⁰² + x²⁰⁰⁰ + 1 chia hết cho x² + x + 1.

Lời giải:

Ta có:

A = x²⁰⁰² + x²⁰⁰⁰ + 1 = x²⁰⁰² + x²⁰⁰¹ + x²⁰⁰⁰ − (x²⁰⁰¹ − 1)

= x²⁰⁰⁰(x² + x + 1) − [(x³)⁶⁶⁷ − 1]

= x²⁰⁰⁰(x² + x + 1) − (x³ − 1)[(x³)⁶⁶⁶ + (x³)⁶⁶⁵ + … + 1]

= x²⁰⁰⁰(x² + x + 1) − (x − 1)(x² + x + 1)[(x³)⁶⁶⁶ + (x³)⁶⁶⁵ + … + 1]

= (x² + x + 1){x²⁰⁰⁰ − (x − 1)[(x³)⁶⁶⁶ + (x³)⁶⁶⁵ + … + 1]}.

Vây x²⁰⁰² + x²⁰⁰⁰ + 1 chia hết cho x² + x + 1.

Câu 44: Tìm x để x² + x + 1 chia hết cho x – 1.

Lời giải:

Ta có:

A = x² + x + 1 = x² − x + 2x − 2 + 3

= x(x − 1) + 2(x − 1) + 3

= (x + 2)(x − 1) + 3.

Vì (x + 2)(x − 1) ⋮ (x − 1) nên để x² + x + 1 ⋮ x − 1 thì 3 ⋮ (x − 1).

Vậy x − 1 $\in$ Ư(3) = {±1; ±3} ⇒ x = {−2; 0; 2; 4}.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 6)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 7)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 8)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 9)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 10)