Chứng minh bất đẳng thức: a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca

Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Lời giải:

Giả sử a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Û 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

Û 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ca

Û (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) ≥ 0

Û (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0

Mà (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (đpcm).

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: