Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB^2 + BC^2

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 209 07/10/2024


15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 106)

Đề bài. Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Lời giải:

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến:

AN2=AB2+AD22-BD24

AB2 + AD2 = 2AN2 + BD22(1)

Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến:

CN2=CD2+CB22-BD24

CB2 + CD2 = 2CN2 + BD22(2)

Cộng (1) với (2) ta được: AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2AN2 + 2CN2 + BD2 (3)

Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến:

MN2=CN2+AN22-AC24

AN2 + CN2 = 2MN2 + AC22 (4)

Thay (4) vào (3) ta được:

AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2.(2MN2 + AC22) + BD2 = 4MN2 + AC2 + BD2

Vậy AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

1 209 07/10/2024


Xem thêm các chương trình khác: