15000 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 106)

15000 câu hỏi ôn tập môn Toán (Phần 106)

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d₁ và d₂ cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d₁ cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d₂ cắt các cạnh BC và AD ở N và Q.

a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

b/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy chứng minh.

Lời giải:

a/ Ta có ABCD là hình bình hành nên AC cắt BD tại trung điểm O mỗi đường

Nên OA = OC; OB = OD

Mà AB // CD nên $\frac{OM}{OP}=\frac{OA}{OC}=1$

Nên OM = OP hay O là trung điểm MP

Tương tự: O là trung điểm NQ

Vì d₁ vuông góc d₂ tức NQ vuông góc MP

Suy ra: NQ ⊥ MP = O là trung điểm mỗi đường

Vậy MNPQ là hình thoi

b/ Nếu ABCD là hình vuông thì AC ⊥ BD

Suy ra: $\widehat{MOB}={90}^{\circ }-\widehat{BON}=\widehat{NOC}$

Mà OB = OC; $\widehat{OBM}=\widehat{OBA}={45}^{\circ }=\widehat{OCB}=\widehat{OCN}$

Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:

$\widehat{OBM}=\widehat{OCN}$

OB = OC

$\widehat{MOB}=\widehat{NOC}$

Nên: ∆OBM = ∆OCN (g.c.g)

Suy ra: OM = ON

Kết hợp phần a nên MNPQ là hình vuông.

Đề bài. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 1cm, CD = 5cm và $\widehat{C}=30\mathrm{°},\widehat{D}=60\mathrm{°}$. Tính diện tích hình thang ABCD.

Lời giải:

Kẻ đường cao AH và đường cao BK ⇒ AB = HK = 1cm

Nên ta có: DH + CK = 4 (1)

Theo tỉ số lượng giác cho tam giác ADH và BCK ta lại có:

AH = tan60°. DH

BK = tan 30°. CK

Nên: tan60°. DH = tan30°. CK (2)

Từ (1) và (2) giải ra ta được: DH = 1cm, CK = 3cm.

Suy ra: AH = tan60°. DH = $\sqrt{3}(cm)$

S_ABCD = $\frac{1}{2}.AH.(AB+CD)=\frac{1}{2}.\sqrt{3}.(1+5)=3\sqrt{3}(c{m}^2)$.

Đề bài. Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và $\widehat{A}$= 60°. Tính cạnh BC.

Lời giải:

Kẻ CH ⊥ AB, DK ⊥ AB

Suy ra DK // CH (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mà CD // HK

Suy ra CDKH là hình bình hành

Lại có $\widehat{CHK}$= 90° nên CDKH là hình chữ nhật

Suy ra KH = CD = 10 (cm)

Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC và $\widehat{A}=\widehat{B}={60}^{\circ }$

Xét ∆AKD và ∆BHC có

$\widehat{A}=\widehat{B}={60}^{\circ }$(chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên);

$\widehat{AKD}=\widehat{BHC}={90}^{\circ }$

Do đó ∆AKD = ∆BHC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AK = BH

Ta có AB = AK + KH + BH = 30

Hay 2AK + 10 = 30

Suy ra AK = BH = 10 (cm)

Xét tam giác BCH vuông ở H

Suy ra: $BC=\frac{BH}{\cos \widehat{B}}=\frac{10}{\cos {60}^{\circ }}=20(cm)$.

Đề bài. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 8cm. Tính chu vi hình thoi ABCD?

Lời giải:

Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên mỗi cạnh đều bằng 8cm.

Chu vi hình thoi là: 8.4 = 32 (cm).

Đề bài. Mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có kích thước như hình vẽ. Ở chính giữa mảnh vườn người ta xây 1 cái chòi hình vuông EFGH có cạnh EH = 2m; một lối đi ra chòi hình bình hành DHIK có cạnh DK = 1m.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ABCD.

b) Người ta trồng rau trên mảnh đất hình thang IGCK và trồng hoa trên phần đất còn lại. Tính diện tích lối đi, diện tích trồng rau và diện tích trồng hoa.

Lời giải:

a) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ABCD là:

S_ABCD = AB.BC = 40.20 = 800 (m²)

b) Chòi hình vuông nằm chính giữa mảnh vườn

⇒ IL = (20 − 2) : 2 = 9m

Lối đi hình bình hành DHIK có đường cao là IL = 9m ứng với cạnh đáy DK = 1m

Diện tích lối đi hình bình hành DHIK là: S_DHIK = IL.DK = 9.1 = 9 (m²)

IG = HG – HI = 2 – 1 = 1m

CK = CD – DK = 40 – 1 = 39m

Diện tích trồng rau hình thang IGCK là:

S_IGCK = $\frac{1}{2}$IL.(IG + CK) = 180 (m2)

Diện tích chòi hình vuông EFGH là:

S_EFGH = EH.EH = 2.2 = 4 (m²)

Diện tích trồng hoa là:

S_ABCD − S_DHIK − S_IGCK − S_EFGH = 800 – 9 – 180 – 4 = 607 (m²).

Đề bài. Cho chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Lấy N, M lần lượt thuộc SA, SB sao cho $BM=\frac{1}{4}BS,SN=\frac{3}{4}SA$. Tìm giao tuyến của:

a) (OMN) và (SAB).

b) (OMN) và (SAD).

c) (OMN) và (SBC).

d) (OMN) và (SCD).

Lời giải:

a) $\{\begin{array}{c}M\in (OMN),M\in (SAB)\\ N\in \left(OMN\right), N\in \left(SAB\right)\end{array}$

Nên: (OMN) ∩ (SAB) = MN

b) Ta có: $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SA}=\frac{3}{4}$ nên MN // AB

Kẻ đường thẳng qua O và song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại G, H

⇒ G, H ∈ (OMN)

Khi đó: (OMN) ∩ (SAD) = GN

c) $\left\{\begin{array}{l}M\in \left(OMN\right), M\in \left(SBC\right)\\ H\in \left(OMN\right), H\in \left(SBC\right)\end{array}\right.$

Nên (OMN) ∩ (SBC) = MH

d) Gọi giao điểm của MH và SC là I; giao điểm của NG và SD là J

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}J\in \left(OMN\right), J\in \left(SCD\right)\\ J\in \left(OMN\right), J\in \left(SCD\right)\end{array}\right.$

Nên (OMN) ∩ (SCD) = IJ.

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh rằng $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}={\sin }^{2}B.{\sin }^{2}C$.

Lời giải:

Ta có: HM ⊥ AB, HN ⊥ AC, AB ⊥ AC

Nên AMHN là hình chữ nhật

⇒ AH = MN

⇒ $\widehat{AMN}=\widehat{MAH}=\widehat{BAH}={90}^{\circ }-\widehat{B}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}$

⇒ ∆ANM ∽ ∆ABC (g.g)

⇒ $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}={\left(\frac{MN}{BC}\right)}^2=\frac{A{H}^2}{B{C}^2}$
Ta có: 1 – cos²B = sin²B

⇒ (1 – cos²B)sin²C = sin²Bsin²C = (sinBsinC)²

= ${(\frac{AC}{BC}.\frac{AB}{BC})}^2={\left(\frac{AB.AC}{B{C}^2}\right)}^2={\left(\frac{AH.BC}{B{C}^2}\right)}^2={\left(\frac{AH}{BC}\right)}^2$

⇒ $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=(1--co{s}^{2}B)si{n}^{2}C$

⇒ $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}={\sin }^{2}B.{\sin }^{2}C$

Đề bài. Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm A, B, C có tọa độ A(0; 4), B(3; 4), C(3; 0). Hãy tìm hệ số a sao cho đường thẳng y = ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần, trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần C.

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật OABC là: 3.4 = 12(đvdt)

Do diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện phần phần chứa điểm C do đó đường thẳng y = ax sẽ cắt đoạn BC tại một điểm, gọi điểm đó là điểm D.

Diện tích tam giác ODC là: 12 : (2 + 1) . 1 = 4 (đvdt)

Độ dài đoạn DC: $4.2:3=\frac{8}{3}$

Nên tọa độ điểm $D(3;\frac{8}{3})$.

Đề bài. Tính diện tích của hình H gồm hình bình hành ABCD và hình chữ nhật DCNM, biết hình chữ nhật DCNM có chu vi bằng 180 cm và chiều dài MN gấp 4 lần chiều rộng CN.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật DCNM là: 180 : 2 = 90 (cm)

Khi đó: MN + CN = 90 (cm)

Chiều dài MN gấp 4 lần chiều rộng CN

Tổng số phần bằng nhau là:

1 + 4 = 5 (phần)

Chiều dài MN (hay CD) của hình chữ nhật DCNM là:

90 : 5 . 4 = 72 (cm)

Chiều rộng CN (hay DM) của hình chữ nhật DCNM là:

90 – 72 = 18 (cm)

Diện tích hình chữ nhật DCMN là:

18 . 72 = 1296 (cm²)

Diện tích hình bình hành ABCD là:

72 . 20 = 1440 (cm²)

Diện tích hình H là:

1296 + 1440 = 2736 (cm²).

Đề bài. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn log₂a + log₈b + log₃₂c = 10 và $\sqrt{a}=\sqrt[3]{b}=\sqrt[5]{c}$. Tính log₄(abc).

Lời giải:

log₂a + log₈b + log₃₂c = 10

⇔ $lo{g}_{2}a+lo{g}_{2^3}b+lo{g}_{2^5}c=10$

⇔ $lo{g}_{2}a+\frac{1}{3}lo{g}_{2}b+\frac{1}{5}lo{g}_{2}c=10$

⇔ $lo{g}_{2}a+lo{g}_2{b}^{\frac{1}{3}}+lo{g}_2{c}^{\frac{1}{5}}=10$

⇔ $lo{g}_{2}a+lo{g}_2\sqrt[3]{b}+lo{g}_2\sqrt[5]{c}=10$

⇔ $lo{g}_2(a.\sqrt[3]{b}.\sqrt[5]{c})=10$

⇔ $a.\sqrt[3]{b}.\sqrt[5]{c}=2^{10}=1024$

Mà $\sqrt{a}=\sqrt[3]{b}=\sqrt[5]{c}$

Nên:${\left(\sqrt{a}\right)}^2.{\left(\sqrt{a}\right)}^2=1024$

⇔ $a^2=1024$

⇔ a = 32

Nên: $b={\left(\sqrt{32}\right)}^3;c={\left(\sqrt{32}\right)}^5$

Vậy log₄(abc) =$\frac{25}{2}.$

Đề bài. Cho ba điểm A(-1; -1), B(0; 1), C(3; 0). Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC và 2BD = 5DC.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm D(x_D; y_D)

Ta có: 2BD = 5DC nên $2\overrightarrow{BD}=5\overrightarrow{DC};\overrightarrow{BD}=(x_D;y_D-1);\overrightarrow{DC}=(3-x_D;-y_D)$

Do đó: $\left\{\begin{array}{l}2x_D=5(3-x_D)\\ 2(y_D-1)=5(-y_D)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D=\frac{15}{7}\\ y_D=\frac{2}{7}\end{array}\right.$

Vậy $D(\frac{15}{7};\frac{2}{7})$.

Đề bài. Cho tứ giác ABCD có CD = 24cm. O là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tứ giác biết khoảng cách từ A, B, O đến CD theo thứ tự bằng 20cm, 15cm, 12cm.

Lời giải:

Kẻ AE ⊥ CD, OF ⊥ CD, BG ⊥ CD

⇒ AE // OF // BG

Do khoảng cách từ A, B, O đến CD theo thứ tự bằng 20cm, 15cm, 12cm

⇒ AE = 20cm, OF = 12cm, BG = 15cm

⇒ $S_{OCD}=\frac{1}{2}.OF.CD=\frac{1}{2}\mathrm{.12.24}=144$

Ta có: AE // OF nên $\frac{CO}{CA}=\frac{OF}{AE}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{CO}{CA-CO}=\frac{3}{5-3}=\frac{3}{2}$

Hay $\frac{CO}{AO}=\frac{3}{2}$

⇒ $\frac{S_{ADO}}{S_{OCD}}=\frac{3}{2}$

⇒ $S_{ADO}=\frac{3}{2}.S_{OCD}=\frac{3}{2}.144=216$

Lại có: BG // OF nên $\frac{DO}{DB}=\frac{OF}{OG}=\frac{4}{5}$

⇒ $\frac{DO}{OB}=4$

⇒ $\frac{S_{OCD}}{S_{OBC}}=4$

⇒ $(S_{OBC}=\frac{1}{4}.S_{OCD}=36$)

Lại có: $\frac{S_{BOA}}{S_{BOC}}=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{3}$

⇒ $S_{BOA}=\frac{2}{3}.S_{BOC}=24$

S_ABCD = S_OAB + S_OBC + S_OCD + S_DOA = 24 + 36 + 144 + 216 = 420 (cm²).

Đề bài. Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Lời giải:

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến:

$A{N}^2=\frac{A{B}^2+A{D}^2}{2}-\frac{B{D}^2}{4}$

⇒ AB² + AD² = 2AN² + $\frac{B{D}^2}{2}$(1)

Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến:

$C{N}^2=\frac{C{D}^2+C{B}^2}{2}-\frac{B{D}^2}{4}$

⇒ CB² + CD² = 2CN² + $\frac{B{D}^2}{2}$(2)

Cộng (1) với (2) ta được: AB² + AD² + CB² + CD² = 2AN² + 2CN² + BD² (3)

Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến:

$M{N}^2=\frac{C{N}^2+A{N}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{4}$

⇒ AN² + CN² = 2MN² + $\frac{A{C}^2}{2}$ (4)

Thay (4) vào (3) ta được:

AB² + AD² + CB² + CD² = 2.(2MN² + $\frac{A{C}^2}{2})$ + BD² = 4MN² + AC² + BD²

Vậy AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Đề bài. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 2) và đi qua điểm A(1;−2; −1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng?

Lời giải:

Ta có: $AI=\frac{\sqrt{A{B}^2+A{C}^2+A{D}^2}}{2}=3\sqrt{3}$

Suy ra: AB² + AC² + AD² = 4.AI² ≥ 4.27 ≥ $3\sqrt[3]{A{B}^2.A{C}^2.A{D}^2}$

⇔ AB.AC.AD ≤ 216

Vậy $V_{ABCD}=\frac{1}{6}.AB.AC.AD\le \frac{1}{6}.216=36$

Dấu “=” xảy ra khi AB = AC = AD = 6.

Đề bài. Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴ – (1 + 9m²)x² + 9m² cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Lời giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

x⁴ – (1 + 9m²)x² + 9m² = 0

⇔ (x² – 1)(x² + 1) – (9m² + 1)(x² – 1) = 0

⇔ (x² – 1)(x² – 9m²) = 0

⇔ $[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ x=\pm \pm 3m\end{array}$

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì \(m \ne \pm \frac{1}{3}\)

TH1: $\frac{-3m+1}{2}=-1\Rightarrow m=1$

TH2: $\frac{-1+3m}{2}=-3m\Rightarrow m=\frac{1}{9}$

Vậy $m=\{\pm 1;\pm \frac{1}{9}\}$.

Đề bài. Doanh thu (triệu đồng) của công ty A khi sản xuất và bán x sản phẩm được cho bởi: R(x) = −3x² + 140x đôla. Tính doanh thu của công ty khi khi sản xuất bán sản phẩm thứ 10?

Lời giải:

Doanh thu của công ty khi khi sản xuất bán sản phẩm thứ 10 là:

−3.10² + 140.10 = 1100 (đôla).

Đề bài. Tính $(\frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+\frac{1}{14.19}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{44.49}).\frac{1-3-5-7-\mathrm{\dots }-49}{89}$.

Lời giải:

$(\frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+\frac{1}{14.19}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{44.49}).\frac{1-3-5-7-\mathrm{\dots }-49}{89}$

$=\frac{1}{5}(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{14}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{44}-\frac{1}{49}).\frac{1-(3+5+7+\mathrm{\dots }+49)}{89}$

$=\frac{1}{5}(\frac{1}{4}-\frac{1}{49}).\frac{1-\frac{(3+49).[(49-3):2+1]}{2}}{89}$

$=\frac{1}{5}.\frac{45}{196}.\frac{1-624}{89}$

$=\frac{9}{196}.\frac{-623}{89}$

$=\frac{-9}{28}$.

Đề bài. Tính giá trị biểu thức: $(-\frac{3}{4}+\frac{6}{13}).\frac{9}{4}-(\frac{13}{3}-\frac{7}{13}).\frac{4}{9}$.

Lời giải:

$(-\frac{3}{4}+\frac{6}{13}).\frac{9}{4}-(\frac{13}{3}-\frac{7}{13}).\frac{4}{9}$

$=-\frac{15}{52}.\frac{9}{4}-\frac{148}{39}.\frac{4}{9}$

$=-\frac{1009}{432}$.

Đề bài. Rút gọn biểu thức: $\frac{1}{2-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}\mathrm{ }+2}-\frac{x}{x-4}$.

Lời giải:

$\frac{1}{2-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{x}{x-4}$

$=\frac{2+\sqrt{x}}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}-\frac{\sqrt{x}\mathrm{ }-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}\mathrm{ }-2)}-\frac{x}{x-4}$

$=\frac{-2-\sqrt{x}}{x-4}-\frac{\sqrt{x}\mathrm{ }-2}{x-4}-\frac{x}{x-4}$

$=\frac{-2-\sqrt{x}-\sqrt{x}\mathrm{ }+2-x}{x-4}$

$=\frac{-2\sqrt{x}\mathrm{ }-x}{x-4}$

$=\frac{-\sqrt{x}(2+\sqrt{x})}{(\sqrt{x}\mathrm{ }+2)(\sqrt{x}\mathrm{ }-2)}$

$=\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$.

Đề bài. Tìm x nguyên biết 2x + 4 chia hết cho x + 1.

Lời giải:

Ta có: 2x + 4 = 2(x + 1) + 2

Vì 2(x + 1) chia hết cho x + 1

Nên để 2x + 4 chia hết cho x + 1 thì 2 chia hết cho x + 1

Hay x + 1 ∈ Ư(2)

Mà Ư(2) ∈{1; 2; -1; -2}.

⇒ x ∈{ - 3; - 2; 0; 1}.

Đề bài. Rút gọn biểu thức (3x + 1)² – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)².

Lời giải:

(3x + 1)² – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)²

= [(3x + 1) – (3x + 5)]²

= (-4)²

= 16.

Đề bài. Giải phương trình: $\sqrt{1-x^2}\mathrm{ }=x-1$.

Lời giải:

Điều kiện xác định: x ≥ 1

$\sqrt{1-x^2}\mathrm{ }=x-1$

⇔ -x² + 1 = x² – 2x + 1

⇔ 2x² – 2x = 0

⇔ 2x(x – 1) = 0

⇔ $[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\end{array}$

Vậy x = 1.

Đề bài. Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}(m-1)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}$.

Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{l}(m-1)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right.$

⇔ $\{\begin{array}{c}(m-1)x-m(2x-m-5)=3m-1\\ y=2x-m-5\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}(m-1)x-2mx+m^2+5m=3m-1\\ y=2x-m-5\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}(m+1)x={(m+1)}^2\left(1\right)\\ y=2x-m-5 \left(2\right)\end{array}$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x=\frac{{(m+1)}^2}{m+1}=m+1$ thay x = m + 1 vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét

S = x² + y²

= (m + 1)² + (m – 3)²

= m² + 2m + 1 + m² − 6m + 9

= 2m² – 4m + 10

= 2(m² – 2m + 1) + 8

= 2(m – 1)² + 8

Vì (m – 1)² ≥0; ∀m ⇒ 2(m – 1)² + 8 ≥ 8

Hay S ≥ 8; ∀m.

Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Đề bài. Tìm x biết (x + 1)⁵ = 243.

Lời giải:

(x + 1)⁵ = 243

⇔ (x + 1)⁵ = 3⁵

⇔ x + 1 = 3

⇔ x = 2

Vậy x = 2.

Đề bài. Tìm x biết ${(x-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{3}=\frac{22}{12}$.

Lời giải:

${(x-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{3}=\frac{22}{12}$

⇔ ${(x-\frac{1}{2})}^2=\frac{13}{6}$

⇔ $[\begin{array}{c}x-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{13}{6}}\\ x-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{13}{6}}}\end{array}$

⇔ $[\begin{array}{c}x=\sqrt{\frac{13}{6}}+\frac{1}{2}\\ x=-\sqrt{{\displaystyle \frac{13}{6}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$.

Đề bài. Tìm x biết (x – 3)³ – (x – 3)(x² + 3x + 9) + 9(x + 1)² = 15.

Lời giải:

(x – 3)³ – (x – 3)(x² + 3x + 9) + 9(x + 1)² = 15

x³ – 9x² + 27x – 27 – (x³ + 3x² + 9x – 3x² – 9x – 27) + 9(x² + 2x + 1) – 15 = 0

x³ – 9x² + 27x – 27 – x³ + 27 + 9x² + 18x + 9 – 15 = 0

45x – 6 = 0

x = $\frac{6}{45}$.

Đề bài. Phân tích thành nhân tử: 12x² – 72x + 60.

Lời giải:

12x² – 72x + 60

= 12x² – 12x – 60x + 60

= 12x(x – 1) – 60(x – 1)

= (x – 1)(12x – 60)

= 12(x – 1)(x – 5).

Đề bài. 2 ngày 16 giờ = … ngày.

Lời giải:

2 ngày 16 giờ = $2⁤\frac{16}{24}=2⁤\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ ngày.

Đề bài. Tính giá trị biểu thức: $\frac{1}{\sqrt{5}\mathrm{ }-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+2}$.

Lời giải:

$\frac{1}{\sqrt{5}\mathrm{ }-2}+\frac{1}{\sqrt{5}\mathrm{ }+2}=\frac{\sqrt{5}\mathrm{ }+2+\sqrt{5}\mathrm{ }-2}{(\sqrt{5}\mathrm{ }-2)(\sqrt{5}\mathrm{ }+2)}=\frac{2\sqrt{5}}{5-4}=2\sqrt{5}$.

Đề bài. Lấy số 196 chia cho số nguyên a rồi cộng thêm a. Sau đó, lấy kết quả này chia cho a rồi cộng thêm a. Kết quả thu được là 26a. Hãy tìm a.

Lời giải:

Ta có: 196 : a + a = X (1)

X : a + a = 26a

⇔ X : a = 25a

⇔ X = 25a.a = 25a² (2)

Thay (2) vào (1) có:

196 : a + a = 25a²

⇔$\frac{196}{a}=25a^2-a$

⇔ 25a³ – 196 – a² = 0

⇔ (a – 2)(25a² + 49a + 98) = 0

⇔ a = 2 (vì phương trình 25a² + 49a + 98 = 0 vô nghiệm)

Vậy a = 2.

Đề bài. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x³ – 3mx² – 9m²x nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Lời giải:

Ta có: y = x³ – 3mx² – 9m²x

y’ = 3x² – 6mx – 9m²

y’ = 3(x² – 2mx – 3m²)

y’ = 3(x + m)(x – 3m)

TH1: m > 0 suy ra y’ < 0 ⇔ –m < x < 3m

Nên hàm số nghịch biến trên (0; 1)

Suy ra: $\{\begin{array}{c}3m>1\\ -m<0\end{array}\iff m>\frac{1}{3}$

TH2: m < 0 suy ra y’ < 0 ⇔ 3m < x < –m

Nên hàm số nghịch biến trên (0; 1)

Suy ra: $\{\begin{array}{c}3m<0\\ -m>1\end{array}\iff m<\mathrm{ }-1$

TH3: m = 0 suy ra y’ = 3x² ≥ 0; ∀ x ∈ (0; 1) nên hàm số đồng biến trên ℝ.

Vậy $m>\frac{1}{3}$ hoặc m < – 1.

Đề bài. Tìm các giá trị của m để phương trình x² – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $|x_1-x_2|=5$ với m là tham số.

Lời giải:

Xét phương trình: x² – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0

Ta có: ∆’ = m² – 4m + 4 = (m – 2)² > 0 với mọi m khác 2.

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m ≠ 2.

Áp dụng Vi-ét: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2(m-1)\\ x_1{x}_2=2m-3\end{array}$

Theo bài ra: $|x_1-x_2|=5$

⇒ ${(x_1-x_2)}^2=25$

⇔ ${(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2=25$

⇔ 4(m – 1)² – 4(2m – 3) – 25 = 0

⇔ 4m² – 16m – 9 = 0

⇔ (2m – 9)(2m + 1) = 0

⇔ $[\begin{array}{c}m=\frac{9}{2}\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}$.

Đề bài. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Q: “∃n ∈ ℕ, n chia hết cho n + 1”.

Lời giải:

Với n = 0, n + 1 = 1, khi đó 0 chia hết cho 1.

Suy ra mệnh đề Q là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là: $\overline{Q}$: “∀n ∈ ℕ, n không chia hết cho n + 1”.

Đây là mệnh đề sai.

Đề bài. Tìm 3 giá trị của x biết $0,2<x<\frac{3}{10}$.

Lời giải:

$0,2<x<\frac{3}{10}$

Hay $0,2<x<0,3$

Nên 3 giá trị của x có thể là 0,21; 0,22; 0,23.

Đề bài. Tính giá trị biểu thức A =$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}$.

Lời giải:

$A=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}$

$A=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{1.2.3.4}}$

$A=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}$

$A=\frac{48}{24}+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}$

$A=\frac{65}{24}$.

Đề bài. Chứng minh $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{{100}^2}<1$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}$

$\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}$

….

$\frac{1}{{100}^2}<\frac{1}{99.100}$

Suy ra: $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{{100}^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{99.100}$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{{100}^2}<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{{100}^2}<1-\frac{1}{100}$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{{100}^2}<\frac{99}{100}<\frac{100}{100}=1$

Vậy $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{{100}^2}<1$.

Đề bài. Tính A = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²¹.

Lời giải:

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²¹

2A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²²

Ta có: 2A – A = (2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²²) – (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²¹)

A = 2²⁰²² – 1.

Đề bài. Chứng minh rằng: 10⁹ + 10⁸ + 10⁷ chia hết cho 222 và chia hết cho 555.

Lời giải:

Ta có: 10⁹ + 10⁸ + 10⁷

= 10⁷(10² + 10 + 1)

= 10⁷.111

= 2⁷.5⁷.111

= 2⁶.5⁷.222 ⋮ 222

Vậy 10⁹ + 10⁸ + 10⁷ chia hết cho 222.

Lại có: 10⁹ + 10⁸ + 10⁷

= 10⁷(10² + 10 + 1)

= (2.5)⁷(10² + 10 + 1)

= 2⁷.5⁶.5.111

= 2⁷.5⁶.555 ⋮ 555

Vậy 10⁹ + 10⁸ + 10⁷ chia hết cho 555.

Đề bài. Chứng minh rằng: 13ⁿ − 1 chia hết cho 12.

Lời giải:

Ta có: 13ⁿ − 1

= (13 – 1)(13^n-1 + 13^n-2 + … + 13¹ + 1)

= 12.(13^n-1 + 13^n-2 + … + 13¹ + 1) ⋮ 12

Vậy 13ⁿ − 1 chia hết cho 12.

Đề bài. Tìm 2 số hữu tỉ a và b, sao cho a + b = ab = a : b.

Lời giải:

a + b = ab

⇒ a = ab - b = b(a - 1)

Thay a = b - 1 vào a + b = a : b ta có:

a + b = a -1

⇔ a + b - a = -1

⇔ b = -1

Ta có:

ab = a + b

⇔ - 1 .a = a + - 1

⇔ - a = a - 1

⇔ -a - a = -1

⇔ -2a = -1

⇔ $a=\frac{1}{2}$

Vậy $a=\frac{1}{2};b=-1$.

Đề bài. Chứng minh 19¹⁹ + 69¹⁹ chia hết cho 44.

Lời giải:

19¹⁹ + 69¹⁹ = (19 + 69)(19¹⁸ - 19¹⁷.69 + … + 69¹⁸)

= 88.(19¹⁸ - 19¹⁷.69 + … + 69¹⁸)

= 2.44.(19¹⁸ - 19¹⁷.69 + … + 69¹⁸)

Mà 44 ⋮ 44 nên 2.44.(19¹⁸ - 19¹⁷.69 + … + 69¹⁸) ⋮ 44

Vậy 19¹⁹ + 69¹⁹ chia hết cho 44.

Đề bài. Chứng minh 2²⁰²⁰ + 2²⁰²¹ + 2²⁰²² + 7²⁰²³ + 7²⁰²⁴ chia hết cho 7.

Lời giải:

2²⁰²⁰ + 2²⁰²¹ + 2²⁰²² + 7²⁰²³ + 7²⁰²⁴

= 2²⁰²⁰(1 + 2 + 2²) + 7.(7²⁰²² + 7²⁰²³)

= 2²⁰²⁰.7 + 7.(7²⁰²² + 7²⁰²³)

= 7(2²⁰²⁰ + 7²⁰²² + 7²⁰²³) ⋮ 7

Vậy 2²⁰²⁰ + 2²⁰²¹ + 2²⁰²² + 7²⁰²³ + 7²⁰²⁴ chia hết cho 7.

Đề bài. Tìm số tự nhiên n để 2n + 3 chia hết cho 3n + 1.

Lời giải:

Ta có : 2n + 3 chia hết cho 3n + 1

⇒ 6n + 9 chia hết cho 3n + 1

⇒ 6n + 2 + 7 chia hết cho 3n + 1

⇒ 7 chia hết cho 3n + 1

⇒ 3n + 1 thuộc Ư(7) = {1;7}

Suy ra: n = 0; 2.

Đề bài. Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1.

Lời giải:

Vì 3n + 4 = 3n + 7 – 3 = 3n – 3 + 7 = 3(n – 1) + 7

Do 3(n – 1) chia hết cho n – 1 (tính chất chia hết của một tích)

Nên để 3n + 4 chia hết cho n – 1 thì 7 phải chia hết cho n – 1 (tính chất chia hết của một tổng)

Hay (n – 1) thuộc Ư(7) = {1; 7}

Với n – 1 = 1 thì n = 2

Với n – 1 = 7 thì n = 8

Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì 3n + 4 chia hết cho n – 1.

Đề bài. Tìm tất cả các số tự nhiên x biết 3x - 12 chia hết cho x – 2.

Lời giải:

Ta có:

3x – 12 = 3x – 6 – 6 = 3(x − 2) − 6

Mà [3(x − 2)] ⋮ (x − 2) nên 6 ⋮ (x − 2)

⇒ (x − 2) ∈ Ư(6)

Vì x ∈ ℕ nên x ≥ 0

⇒ x – 2 ≥ −2

⇒ (x − 2) ∈ {−2; −1; 1; 2; 3; 6}

⇒ x ∈ {0; 1; 3; 4; 5; 8}

Vậy để (3x − 12) ⋮ (x − 2) thì x ∈ {0; 1; 3; 4; 5; 8}.

Đề bài. Cho A = 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40. Hỏi A có chia hết cho 80 không? Vì sao?

Lời giải:

Để chứng minh A chia hết cho 80 ta chứng minh A chia hết cho 8 và 10.

Ta thấy: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 ⋮ 10 và 40 ⋮ 10

Nên: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40 ⋮ 10 hay A ⋮ 10

Lại có: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 ⋮ 8 và 40 ⋮ 8

Nên: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40 ⋮ 8 hay A ⋮ 8

Vậy A chia hết cho 80.

Đề bài. Cho góc $\widehat{AOB}$ và góc $\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù. Biết góc $\widehat{BOC}$ bằng năm lần góc $\widehat{AOB}$.

a) Tính số đo mỗi góc.

b) Gọi OD là tia phân giác của góc $\widehat{BOC}$. Tính số đo góc $\widehat{AOD}$.

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA; OB; OC; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?

Lời giải:

a) Vì góc $\widehat{AOB}$ và góc $\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù nên: $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}={180}^{\circ }$

mà $\widehat{BOC}=5\widehat{AOB}$

Do đó nên $\widehat{AOB}={180}^{\circ }:6={30}^{\circ }$

Suy ra: $\widehat{BOC}=5\widehat{AOB}={150}^{\circ }$

b) Vì OD là tia phân của góc BOC nên: $\widehat{BOD}=\widehat{DOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}={75}^{\circ }$

Vì góc $\widehat{AOD}$ và góc $\widehat{DOC}$ là hai góc kề bù nên: $\widehat{AOD}+\widehat{DOC}={180}^{\circ }$

Do đó $\widehat{AOD}={180}^{\circ }-{75}^{\circ }\mathrm{ }={105}^{\circ }$

c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ một tia trong n + 4 tia đó tạo với n + 4 - 1 = n + 3 tia còn lại thành n + 3 góc.

Có n + 4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần. Vậy có tất cả $\frac{(n+4)(n+3)}{2}$góc.

Đề bài. Điền chữ số vào dấu * để:

a) $\overline{*45*}$ chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9.

b) $\overline{21*}$ chia hết cho cả 3 và 5.

Lời giải:

a) Để $\overline{*45*}$ chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng * phải là 0 hoặc 5

Mà $\overline{*45*}$ chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng * là 0

Khi đó ta có số $\overline{*450}$

Để $\overline{*450}$ chia hết cho 9 thì * + 4 + 5 + 0 chia hết cho 9 hay * + 9 chia hết cho 9

Suy ra: * = 9

Vậy số cần tìm là 9450.

b) $\overline{21*}$ chia hết cho 5 thì * = 0 hoặc * = 5

Nếu * = 0 ta có số 210 ⋮ 3 (thỏa mãn)

Nếu * = 5 ta có số 215 ⋮̸ 3 (loại).

Vậy 210 chia hết cho cả 3 và 5.

Đề bài. Điền chữ số vào dấu * để:

a) $\overline{6*7}$ chia hết cho 3.

b) $\overline{1*8}$ chia hết cho 9.

Lời giải:

a) Để $\overline{6*7}$ chia hết cho 3 thì (6 + * + 7) ⋮ 3 hay (13 + *) ⋮ 3

Suy ra: * = 2; 5; 8

Vậy số cần tìm là 627, 657, 687.

b) Để $\overline{1*8}$ chia hết cho 9 thì (1 + * + 8) ⋮ 9 hay (9 + *) ⋮ 9

Suy ra: * = 0; 9

Vậy số cần tìm là 108, 198.

Đề bài. Viết chữ số thích hợp vào ô trống để được: 1…8 chia hết cho 9.

Lời giải:

Để 1…8 chia hết cho 9 thì (1 + 8 + … ) chia hết cho 9 hay (9 + …) chia hết cho 9.

Vậy ta cần viết vào ô trống một trong các chữ số 0 hoặc 9.

Đề bài. Cho hình vuông ABCD có cạnh 14cm (hình bên). Như vậy, phần tô đen trong hình vuông ABCD có diện tích là?

Lời giải:

4 phần không tô đen nằm trong hình vuông ABCD ghép lại thành 1 hình tròn có bán kính 7cm.

Diện tích phần tô đen là:

14.14 – 3,14.7² = 42,14 (cm²).

Đề bài. Một lớp học có 20 học sinh nam và 24 học sinh nữ. Có thể chia lớp đó thành nhiều nhất bao nhiêu tổ để số nam và số nữ được chia đều vào các tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ?

Lời giải:

Gọi số tổ chia được nhiều nhất là a (a ∈ ℕ^*)

Vì lớp học có 20 học sinh nam và 24 học sinh nữ chia thành các tổ để số nam và số nữ được chia đều

⇒ 24 chia hết cho a; 20 chia hết cho a

⇒ a ∈ ƯC(20, 24)

Vì số tổ chia thành nhiều nhất nên a = ƯCLN(20, 24)

Ta có: 20 = 2².5

24 = 2³.3

⇒ ƯCLN(20, 24) = 2² = 4

Vậy số tổ chia được nhiều nhất là 4 tổ

Khi đó số nữ ở mỗi tổ là:

24 : 4 = 6 (học sinh)

Khi đó số nam ở mỗi tổ là:

20 : 4 = 5 (học sinh).

Đề bài. Một phòng học hình chữ nhật có chiều dài 15m và chiều rộng 7m. Người ta mua loại gạch hình vuông có cạnh 0,5m để lát nền toàn bộ phòng học. Tính số viên gạch cần dùng để lát đủ phòng học đó.

Lời giải:

Diện tích phòng học là:

15.7 = 105 (m²)

Diện tích viên gạch hình vuông là:

0,5 . 0,5 = 0,25 (m²)

Số viên gạch cần dùng là:

105 : 0,25 = 420 (viên)

Đề bài. Để lát nền một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 27m, chiều rộng 15m, Người ta cần dùng một số viên gạch hình vuông có cạnh 30cm. Số viên gạch cần dùng là?

Lời giải:

Diện tích nền căn phòng là: 27.15 = 405 (m²) = 4050000 cm²
Diện tích 1 viên gạch là: 30.30 = 900 (cm²)

Số viên gạch cần dùng là: 4050000 : 900 = 4500 (viên gạch)

Đáp số: 4500 viên gạch

Đề bài. Tìm tập xác định $\tan (x-\frac{\pi }{4})$.

Lời giải:

Hàm số xác định khi $\cos (x-\frac{\pi }{4})\ne 0\iff x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \mathrm{ }\iff x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$.

Đề bài. Cho $\sin \alpha \mathrm{ }+\cos \alpha \mathrm{ }=\frac{1}{2}$. Tính sin2α, cos2α, tan2α, cot2α.

Lời giải:

Theo bài ra ta có:

$\sin \alpha \mathrm{ }+\cos \alpha \mathrm{ }=\frac{1}{2}$

⇔ ${(\sin \alpha \mathrm{ }+\cos \alpha )}^2=\frac{1}{4}$

⇔ ${\sin }^2\alpha \mathrm{ }+{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha \mathrm{ }=\frac{1}{4}$

⇔ $1+2\sin \alpha \cos \alpha \mathrm{ }=\frac{1}{4}$

⇔ $2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{-3}{4}$

Nên sin2α = 2sinαcosα $=\frac{-3}{4}$

$\cos 2\alpha \mathrm{ }=\mathrm{ }\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}2\alpha }=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\pm \frac{3}{\sqrt{7}}$

$\cot 2\alpha =\frac{1}{\tan 2\alpha }=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}.$

Đề bài. Chứng minh $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

Lời giải:

$1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

Đề bài. Tính giá trị đúng của $\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}$.

Lời giải:

Với 2 góc a và b thỏa mãn: cos a ≠ 0 và cos b ≠ 0 ta có $\tan a+\tan b=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}=\frac{\sin a.\cos b+\sin b.\cos a}{\cos a.\cos b}=\frac{\sin (a+b)}{\cos a.\cos b}$

Áp dụng ta có: $\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{24}.\cos \frac{7\pi }{24}}=\frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{4}}=2(\sqrt{6}-\sqrt{3})$.

Đề bài. Phương trình $tanx+tan(x+\frac{\pi }{3})+tan(x+\frac{2\pi }{3})=3\sqrt{3}$ tương đương với phương trình nào?

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$\{\begin{array}{c}\cos x\ne 0\\ cos(x+\frac{\pi }{3})\ne 0\\ cos(x+\frac{2\pi }{3})\ne 0\end{array}$

Ta có:

$tanx+tan(x+\frac{\pi }{3})+tan(x+\frac{2\pi }{3})=3\sqrt{3}$

⇔ $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin (x+\frac{\pi }{3})}{\cos (x+\frac{\pi }{3})}+\frac{\sin (x+\frac{2\pi }{3})}{\cos (x+\frac{2\pi }{3})}=3\sqrt{3}$

⇔ $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin (x+\frac{\pi }{3}).\cos (x+\frac{2\pi }{3})+\cos (x+\frac{\pi }{3}).\sin (x+\frac{2\pi }{3})}{\cos (x+\frac{\pi }{3}).\cos (x+\frac{2\pi }{3})}=3\sqrt{3}$

⇔ $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin (x+\frac{\pi }{3}+x+\frac{2\pi }{3})}{\cos (x+\frac{\pi }{3}).\cos (x+\frac{2\pi }{3})}=3\sqrt{3}$

⇔ $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin (2x+\pi )}{\cos (x+\frac{\pi }{3}).\cos (x+\frac{2\pi }{3})}=3\sqrt{3}$

⇔ $\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{2\sin 2x}{\cos (2x+\pi ).\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)}=3\sqrt{3}$

⇔$\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{4\sin 2x}{1-2\cos 2x}=3\sqrt{3}$

⇔$\frac{\sin x-2\sin x\cos 2x-4\sin 2x\cos x}{\cos x(1-2\cos 2x)}=3\sqrt{3}$

⇔$\frac{\sin x-\sin 3x+\sin \mathrm{ }-2\sin 3x-2\sin x}{\cos x-\cos x-\cos 3x}=3\sqrt{3}$

⇔$3\tan 3x=3\sqrt{3}$

⇔$\tan 3x=\sqrt{3}$.

Đề bài. Tìm tập xác định của hàm số y = tanx – cot2x.

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$\{\begin{array}{c}\sin 2x\ne 0\\ cosx\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x\ne k\pi \\ x\ne {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}+k\mathrm{\pi }\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ne \frac{k\pi }{2}\\ x\ne {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}+k\mathrm{\pi }\end{array}\iff x\ne \frac{k\pi }{2}(k\in Z)$.

Vậy tập xác định $D=R\backslash \left\{\frac{k\pi }{2}\right\},k\in Z$.

Đề bài. Khai triển đẳng thức (a + b + c)².

Lời giải:

(a + b + c)²

= [(a + b) + c]²

= (a + b)² + 2(a + b)c + c²

= a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.

Đề bài. Khai triển đẳng thức (a + b + c)³.

Lời giải:

(a + b + c)³

= [(a + b) + c]³

= (a + b)³ + c³ + 3(a + b)c(a + b + c)

= a³ + b³ + 3ab(a + b) + c³ + 3(a + b)c(a + b + c)

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3(a + b)c(a + b + c)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(ab + ac + bc + c²)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a).

Đề bài. Tìm 6 chữ số khác nhau a, b, c, d, e, g sao cho $A=\overline{abc}\mathrm{ }-\overline{\mathrm{deg}}$ có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta thấy: a,b,c,d,e,g ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

$A=\overline{abc}\mathrm{ }-\overline{\mathrm{deg}}$ có giá trị nhỏ nhất thì a – d = 1

$\overline{bc}=01$(nhỏ nhất)

$\overline{eg}\mathrm{ }=98$(lớn nhất)

Khi đó $A=\overline{abc}-\overline{\mathrm{deg}}\mathrm{ }=\overline{a01}-\overline{d98}\mathrm{ }=3$

Vậy b = 0, c = 1, e = 9, g = 8

a và b là một trong các cặp số sau: 3 và 2, 4 và 3, 5 và 4, 6 và 5, 7 và 6.

Đề bài. Biết hàm số bậc hai y = ax² + bx + c có đồ thị là một đường parabol đi qua điểm A(-1; 0) và có đỉnh B(1; 2). Khi đó, giá trị biểu thức T = a + b + c bằng bao nhiêu?

Lời giải:

(P) đi qua A(-1; 0) nên: 0 = a – b + c

⇔ c = b - a (1)

(P) đi qua đỉnh B(1; 2) nên:

2 = a + b + c

Vậy T = a + b + c = 2.

Đề bài. Viết công thức tổng quát nhân xác suất P(A.B.C) trong trường hợp A, B, C độc lập với nhau

Lời giải:

P(A.B.C) = P(A).P(B).P(C).

Đề bài. Tìm a và b biết C = $\overline{20a4b}$ chia hết cho 45.

Lời giải:

C chia hết cho 45 tức là C chia hết cho 5 và 9.

Để C chia hết cho 5 thì b = 0 hoặc b = 5.

Với b = 0 ta có số $\overline{20a40}$

Để $\overline{20a40}$ chia hết cho 9 thì (2 + 0 + a + 4 + 0) chia hết cho 9 hay (8 + a) chia hết cho 9.

Suy ra: a = 1

Vậy ta có số 20140.

Với b = 5 ta có số $\overline{20a45}$

Để $\overline{20a45}$ chia hết cho 9 thì (2 + 0 + a + 4 + 5) chia hết cho 9 hay (11 + a) chia hết cho 9.

Suy ra: a = 7.

Vậy ta có số 20745.

Đề bài. Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + … + 100.

Lời giải:

A = 1 + 2 + 3 + … + 100

A = (1 + 100) + (2 + 99) + ….

Từ 1 đến 100 có 100 số. Như vậy, số cặp số là:

100: 2 = 50 (cặp)

Mỗi cặp số có tổng bằng:

1 + 100 = (2 + 99) = (3 + 98)... = 101

Kết quả của phép tính là:

101.50 = 5050

Đáp số: 5050.

Đề bài. Tính tổng dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99.

Lời giải:

Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị

Số các số hạng của dãy là:

(99 – 1) : 1 + 1 = 99 (số hạng)

Tổng dãy số là:

(1 + 99).99 : 2 = 4950.

Đề bài. Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 ta có thể viết được bao nhiêu số có: ba chữ số mà các chữ số có thể được lặp lại.

Lời giải:

Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm, có 5 cách chọn chữ số hàng chục và có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Vậy có tất cả: 5.5.5 = 125 (số)

Đề bài. So sánh $\frac{2008}{2009}+\frac{2009}{2010}+\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2008}$ và 4.

Lời giải:

$4=1+1+1+1=\frac{2009}{2009}+\frac{2010}{2010}+\frac{2011}{2011}+\frac{2008}{2008}$

$=\frac{2008}{2008}+\frac{1}{2009}+\frac{2009}{2010}+\frac{1}{2010}+\frac{2010}{2011}+\frac{1}{2011}+\frac{2008}{2008}$

Xét $\frac{2008}{2009}+\frac{2009}{2010}+\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2008}=\frac{2009}{2009}+\frac{2010}{2010}+\frac{2011}{2011}+\frac{2008}{2008}+\frac{1}{2008}+\frac{1}{2008}+\frac{1}{2008}$

Mà $\frac{1}{2009}<\frac{1}{2008};\frac{1}{2010}<\frac{1}{2008};\frac{1}{2011}<\frac{1}{2008}$

Nên $\frac{2008}{2009}+\frac{2009}{2010}+\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2008}>4$.

Đề bài. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+(m-1)x+2$ có hai điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung.

A. 1 < m < 2.

B. m > 1.

C. m < 2.

D. m < 1.

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: y’ = x² – 2x + m – 1

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung khi y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều dương

⇔ Δ ' = 1 − m + 1 > 0

S = 2 > 0

P = m − 1 > 0

(trong đó S là tổng 2 nghiệm và P là tích 2 nghiệm của phương trình)

⇔ 2 > m > 1.

Đề bài. Cho A = 1 + 2 + 2² + … + 2⁵⁰. Hãy chứng tỏ A + 1 là một lũy thừa của 2.

Lời giải:

A = 1 + 2 + 2² + … + 2⁵⁰

2A = 2 + 2² + … + 2⁵¹

2A – A = (2 + 2² + … + 2⁵¹) – (1 + 2 + 2² + … + 2⁵⁰)

A = 2⁵¹ – 1

Suy ra: A + 1 = 2⁵¹ (đpcm)

Vậy A + 1 là một lũy thừa của 2.

Đề bài. Tính giá trị biểu thức A = 1 + 2 + 3 + … + 2011.

Lời giải:

Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị

Số các số hạng của dãy số A là:

(2011 – 1) : 1 + 1 = 2011

Giá trị của dãy số A là:

(1 + 2011) . 2011 : 2 = 2023066.

Đề bài. Tính nhanh 1 + 2 + 3 + … + 59 + 60.

Lời giải:

Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị

Số các số hạng của dãy số A là:

(60 – 1) : 1 + 1 = 60

Giá trị của dãy số A là:

(1 + 60) . 60 : 2 = 1830.

Đề bài. Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 8m, chiều rộng bằng $\frac{3}{4}$ chiều dài. Để lát nền căn phòng đó. Người ta dùng loại gạch men hình vuông cạnh 4dm.

a) Hỏi căn phòng được lát cần bao nhiêu viên gạch đó.

b) Biết rằng để lát 1m² gạch men hết 75000 đồng. Vậy để lát hết căn phòng đó thì hết bao nhiêu tiền?

Lời giải:

a) Chiều rộng căn phòng là:

$8.\frac{3}{4}=6\left(m\right)$

Diện tích căn phòng là:

8.6 = 48 (m²) = 4800 dm²

Diện tích mỗi viên gạch là:

4.4 = 16 (dm²)

Cần số viên gạch là:

4800 : 16 = 300 (viên)

b) Lát hết căn phòng đó cần số tiền là:

75000 . 48 = 3600000 (đồng).

Đề bài. Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+my=2\\ mx-2y=1\end{array}$.

Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y là các số nguyên.

Lời giải:

Từ hệ ta có: $\{\begin{array}{c}x+my=2\\ mx-2y=1\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}x=2-my\\ m(2-my)-2y=1\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}x=2-my\\ 2m-m^{2}y-2y-1=0\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}x=2-my\\ 2m-1-y(m^2+2)=0\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}x=2-my\\ y={\displaystyle \frac{2m-1}{m^2+2}}\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}x=\frac{m+4}{m^2+2}\\ y={\displaystyle \frac{2m-1}{m^2+2}}\end{array}$

Với mọi m thì hệ luôn có nghiệm $\{\begin{array}{c}x=\frac{m+4}{m^2+2}\\ y={\displaystyle \frac{2m-1}{m^2+2}}\end{array}$

Để x, y là số nguyên thì 2x – y = $\frac{9}{m^2+2}$ cũng là số nguyên

Do m² + 2 ≥ 2 nên $\frac{9}{m^2+2}$ nguyên khi m² + 2 = 3 hoặc m² + 2 = 9.

Suy ra: m² = 1 hoặc m² = 7 (loại vì m là số nguyên)

Nếu m² = 1 thì m = 1 hoặc m = -1

+) Với m = 1 thì $x=\frac{5}{3}$ (loại)

+) Với m = -1 thì x = 1; y = -1 (thỏa mãn)

Vậy m = -1.

Đề bài. Tìm x biết (2x – 3)² = 9.

Lời giải:

(2x – 3)² = 9

⇔ $[\begin{array}{c}2x-3=3\\ 2x-3=-3\end{array}$

⇔ $[\begin{array}{c}x=3\\ x=0\end{array}$

Vậy x = 0 hoặc x = 3.

Đề bài. Rút gọn (3x + 2)(3x – 2).

Lời giải:

(3x + 2)(3x – 2)

= (3x)² – 2²

= 9x² – 4.

Đề bài. Tìm x biết (3x – 2⁴).7³ = 2.7⁴.

Lời giải:

(3x – 2⁴).7³ = 2.7⁴

⇔ (3x – 16).343 = 4802

⇔ 3x – 16 = 14

⇔ 3x = 30

⇔ x = 10.

Vậy x = 10.

Đề bài. Cho hình vuông ABCD. Tính giá trị $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\mathrm{ }+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\mathrm{ }+\overrightarrow{DC})$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}\mathrm{ }+\overrightarrow{AD}\mathrm{ }=\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DA}\mathrm{ }+\overrightarrow{DC}\mathrm{ }=\overrightarrow{DB}$

$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\mathrm{ }+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{DA}\mathrm{ }+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})$

$=(\overrightarrow{AC}\mathrm{ }+\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{DB}\mathrm{ }+\overrightarrow{DB})$

$=2\overrightarrow{AC}.2\overrightarrow{DB}$

$=4.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}$

Mà AC và DB vuông góc với nhau do ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0$

Vậy $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\mathrm{ }+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{DA}\mathrm{ }+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})=0$.

Đề bài. Tính $\sqrt{2-\sqrt{3}}.(\sqrt{6}\mathrm{ }+\sqrt{2})$.

Lời giải:

$\sqrt{2-\sqrt{3}}.(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$=\sqrt{2-\sqrt{3}}.\sqrt{{(\sqrt{6}\mathrm{ }+\sqrt{2})}^2}$

$=\sqrt{(2-\sqrt{3}){(\sqrt{6}\mathrm{ }+\sqrt{2})}^2}$

$=\sqrt{(2-\sqrt{3})(6+2\sqrt{12}+2)}$

$=\sqrt{(2-\sqrt{3})(6+4\sqrt{3}+2)}$

$=\sqrt{(2-\sqrt{3})(8+4\sqrt{3})}$

$=\sqrt{(2-\sqrt{3})4.(2+\sqrt{3})}$

$=\sqrt{(4-3).4}$

$\text{=}\sqrt{4}\text{=2}$

Đề bài. Rút gọn biểu thức $P=(\frac{8-x\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+2\sqrt{x}){\left(\frac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\right)}^2$.

Lời giải:

$P=(\frac{8-x\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+2\sqrt{x}){\left(\frac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\right)}^2$

$P=(\frac{(2-\sqrt{x})(4+2\sqrt{x}+x)}{2-\sqrt{x}}+2\sqrt{x}){\left(\frac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\right)}^2$

$P=(4+2\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}){\left(\frac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}\right)}^2$

$P=\frac{{(2+\sqrt{x})}^2.{(2-\sqrt{x})}^2}{{(2+\sqrt{x})}^2}$

$P={(2-\sqrt{x})}^2$.

Đề bài. Tìm x biết (x + 7)(2x – 6) = 0.

Lời giải:

(x + 7)(2x – 6) = 0

⇔ $[\begin{array}{c}x+7=0\\ 2x-6=0\end{array}$

⇔ $[\begin{array}{c}x=-7\\ x=3\end{array}$

Vậy x = -7 hoặc x = 3.

Đề bài. Cho 2 số x,y thỏa mãn đẳng thức $(x+\sqrt{x^2+2020})(y+\sqrt{y^2+2020})=2020$ . Tính x + y.

Lời giải:

$(x+\sqrt{x^2+2020})(y+\sqrt{y^2+2020})=2020$

⇔ $(x+\sqrt{x^2+2020})(y+\sqrt{y^2+2020})(\sqrt{y^2+2020}\mathrm{ }-y)=2020(\sqrt{y^2+2020}\mathrm{ }-y)$

⇔ $x+\sqrt{x^2+2020}\mathrm{ }=\sqrt{y^2+2020}\mathrm{ }-y$

⇔ $x+y+\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+2020}\mathrm{ }+\sqrt{y^2+2020}}=0$

⇔ $(x+y)(1+\frac{x-y}{\sqrt{x^2+2020}+\sqrt{y^2+2020}})=0$

⇔ $[\begin{array}{c}x+y=0\\ 1+\frac{{\displaystyle x-y}}{{\displaystyle \sqrt{x^2+2020}\mathrm{ }+\sqrt{y^2+2020}}}=0 (*)\end{array}$

Ta thấy (*) vô nghiệm do $|x-y|<\left|x\right|+\left|y\right|<\sqrt{x^2+2020}\mathrm{ }+\sqrt{y^2+2020}$

Nên: $\left|\frac{x-y}{\sqrt{x^2+2020}\mathrm{ }+\sqrt{y^2+2020}}\right|<1$

Vậy x + y = 0.

Đề bài. Chứng minh rằng $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$.

Lời giải:

$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

⇔ ${(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2+2\ge 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

⇔ ${(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2+2-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\ge 0$

⇔ $(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1)\ge 0$

⇔ $\frac{{(x-y)}^2(x^2-xy+y^2)}{x^2{y}^2}\ge 0$ (*)

Vì x² + y² – xy $\ge \frac{1}{2}[{(x-y)}^2+x^2+y^2]>0$

Nên bất đẳng thức (*) luôn đúng

Vậy $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

Dấu “=” khi x = y.

Đề bài. Tìm x biết x² – 4 + (x – 2)(3 – 2x) = 0.

Lời giải:

(x² – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0

⇔ (x – 2)(x + 2) + (x – 2)(3 – 2x) = 0

⇔ (x – 2)[(x + 2) + (3 – 2x)] = 0

⇔ (x – 2)(5 – x) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc 5 – x = 0

+ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

+ 5 – x = 0 ⇔ x = 5.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 5}.

Đề bài. Khai triển biểu thức (–x – 3y)³ ta được?

Lời giải:

(–x – 3y)³ = [–(x + 3y)]³ = –x³ – 9x²y – 27xy² – 27y³.

Đề bài. Rút gọn biểu thức (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z).

Lời giải:

(x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)² + 2(x – y + z)(y – z) + (z – y)²

= (x – y + z + y – z)²

= x².

Đề bài. Cho hàm số y= f(x). Đồ thị hàm số y= f’(x) như hình dưới và f(-2) = f( 2) = 0.

Hàm số g( x) = [f(3 - x)]² nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (- 2; -1).

B. (1; 2).

C. (2; 5).

D. ( 5 ; +∞).

Lời giải:

Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Suy ra: f(x) ≤ 0 với mọi x

Ta có: g’(x) = -2f’(3 – x).f(3 – x)

Xét g’(x) < 0 thì f’(3 – x).f(3 – x) > 0

⇔ $\{\begin{array}{c}{f}^{\text{'}}(3-x)<0\\ f(3-x)<0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-2<3-x<1\\ 3-x>2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2<x<5\\ x<1\end{array}$

Suy ra hàm số y = g(x) nghịch biến trên các khoảng (2; 5) và (-∞; 1).

Đề bài. Một khu rừng hình chữ nhật có chu vi 7km 5 hm, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$chiều dài. Tính diện tích khu rừng đó với đơn vị đo là mét vuông, là héc-ta.

Lời giải:

7km 5hm = 7500m

Nửa chu vi khu rừng là:

7500 : 2 = 3750 (m)

Chiều rộng khu rừng là:

3750 : (2 + 3) . 2 = 1500 (m)

Chiều dài khu rừng là:

3750 : (2 + 3) . 3 = 2250 (m)

Diện tích khu rừng là:

1500.2250 = 3375000 (m²) = 337,5ha

Vậy diện tích khu rừng là 3375000m² = 337,5ha.