1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 17)

1500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 17)

Câu 1: Tính tổng 3 + 6 + 12 + 24 + … + 3072

Lời giải:

Đặt tổng A =  3 + 6 + 12 + 24 + … + 3072

Ta có: 2A = 6 + 24 + 47 + …. + 6144

⇒ 2A – A = 6144 – 3 = 6141.

Vậy A = 6141.

Câu 2: Chúng tỏ rằng với a, b ∈ ℕ thì ƯCLN (a, b) = ƯCLN (5a + 2b, 7a + 3b)

Lời giải:

Gọi d = ƯCLN (a; b)

Đặt:

a = d.m  ; b = d.n ⇒ (m; n) = 1

5a + 2b = d(5m + 2n)

7a + 3b = d(7m + 3n)

Gọi d’ = ƯCLN (5m + 2n; 7m + 3n)

$\left\{\begin{array}{l}5m+2n⋮d\text{'}\\ 7m+3n⋮d\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}5m+2n⋮d\text{'}\\ 2m+n⋮d\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}5m+2n⋮d\text{'}\\ 4m+2n⋮d\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow m⋮d\text{'}$

Từ đó suy ra: 2n ⋮ d’ và 3n ⋮ d’ do đó, n⋮ d’

Do đó, d’ thuộc tập ƯC (m;n)

Mà ƯCLN (m; n) = 1 nên d’ = 1

Do đó, ƯCLN (5m + 2n; 7m + 3n) = 1 ⇒ ƯCLN (5a + 2b; 7a + 3b) = d = ƯCLN (a; b)

Câu 3: Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng

Lời giải:

Ta có: u₁ = 7 ; u₇ = 35

Do dãy số là cấp số cộng nên ta có: u₇ = u₁ + 6d ⇔ 35 = 7 + 6d ⇔ 6d = 28 ⇔ d = $\frac{14}{3}$

Vậy ta có các số cần tìm là: $u_2=\frac{35}{3};u_3=\frac{49}{3};u_4=21;u_5=\frac{77}{3};u_6^{}=\frac{91}{3}$

Câu 4: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$ .

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}VT=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}\right)\\ =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=VP\end{array}$

Câu 5: Cho P = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$  (x ≥ 0), hãy so sánh P và $\sqrt{P}$ .

Lời giải:

Câu 6: Tìm tập tất cả các nghiệm của phương trình

sin 2x + 2sin² x – 6sin x – 2cos x + 4 = 0.

Lời giải:

Ta có: sin 2x + 2sin² x – 6sin x – 2cos x + 4 = 0

⇔ (2sin x cos x – 2cos x) + (2sin² x – 6sin x + 4) = 0

⇔ 2cos x(sin x – 1) + 2(sin x – 2)(sin x – 1) = 0

⇔ (sin x – 1)(sin x + cos x – 2) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x+\cos x=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(VN\right)\end{array}\right.\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 7: Khoảng cách BC trong hình vẽ dưới đây bằng bao nhiêu mét, biết M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC, MN = 5x – 18 (mét); BC = 4x + 198 (mét).

Lời giải:

Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN = $\frac{1}{2}$ BC.

Mà MN = 5x – 18 và BC = 4x + 198 nên ta có: 5x – 18 = $\frac{1}{2}$ (4x + 198)

⇔ 5x – 18 = 2x + 99

⇔ 3x = 117

⇔ x = 39 (mét).

Vậy khoảng cách BC trong hình vẽ đã cho là BC = 4 . 39 + 198 = 354 (mét).

Câu 8: Giải phương trình sau: 5sin x – 2 = 3(1 – sin x)tan² x.

Lời giải:

Điều kiện: cos x ≠ 0 (*)

Phương trình ⇔ 5sin x – 2 = 3(1 – sin x) . $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$

⇔ 5sin x – 2 = 3.(1 – sin x) . $\frac{{\sin }^{2}x}{1-{\sin }^{2}x}$

⇔ 5sin x – 2 = $\frac{3{\sin }^{2}x}{1+\sin x}$

⇒ 2sin² x + 3sin x – 2 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\left(TM\right)\\ \sin x=-2\left(L\right)\end{array}\right.$

Xét sin x = $\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (thỏa mãn điều kiện (*)).

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 9: Chứng minh rằng x⁸ⁿ + x⁴ⁿ + 1 chia hết cho x²ⁿ + xⁿ + 1, với mọi số tự nhiên n.

Lời giải:

Ta có: x⁸ⁿ + x⁴ⁿ + 1 = x⁸ⁿ + 2x⁴ⁿ + 1 – x⁴ⁿ = (x⁴ⁿ + 1)² – (x²ⁿ)²

= (x⁴ⁿ + 1 – x²ⁿ)(x⁴ⁿ + 1 + x²ⁿ)

= (x⁴ⁿ + 1 – x²ⁿ)(x⁴ⁿ + 2x²ⁿ + 1 – x²ⁿ)

= (x⁴ⁿ + 1 – x²ⁿ)[(x²ⁿ + 1)² – (xⁿ)²]

= (x⁴ⁿ + 1 – x²ⁿ)(x²ⁿ – xⁿ + 1)(x²ⁿ + xⁿ + 1)

Vậy x⁸ⁿ + x⁴ⁿ + 1 chia hết cho x²ⁿ + xⁿ + 1, với mọi số tự nhiên n.

Câu 10: Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 là bao nhiêu?

Lời giải:

Để lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 ta thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:

- Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số 0, có 1 cách chọn;

- Chọn chữ số hàng chục nghìn, có 9 cách chọn;

- Chọn chữ số hàng nghìn, có 8 cách chọn;

- Chọn chữ số hàng trăm, có 7 cách chọn;

- Chọn chữ số hàng chục, có 6 cách chọn.

Do vậy, theo quy tắc nhân có 1 . 9 . 8. 7 . 6 = 3 024 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10.

Câu 11: Góc chung là gì?  

Lời giải:

Góc chung là khái niệm dùng để chỉ một góc mà nằm ở 2 đa giác khác nhau.

Chẳng hạn tam giác ABC và tam giác ADE có góc chung là góc A.

Câu 12: Cho hình vẽ dưới đây:

Góc AEB là góc chung của những tam giác nào:

A. ∆AEB; ∆ABD.

B. ∆AEB; ∆AED.

C. ∆AEB; ∆ABC.

D. ∆AEB; ∆AEC.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ ta thấy góc AEB là góc chung của tam giác AEB và tam giác AED.

Câu 13: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}\right)+\left(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}\right)$  (quy tắc ba điểm)

Vậy $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$  (1).

Lại có: $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FE}\right)+\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}\right)+\left(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED}\right)$

Vậy $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$  (đpcm).

Câu 14: Tìm các ước của 240.

Lời giải:

Ta có: 240 = 2⁴ . 3 . 5.

Số các ước nguyên dương của 240 là: (4 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 20.

Các ước nguyên dương của 240 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240.

Câu 15: Cho hình bình hành ABCD. Dựng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA},\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA},\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}$ .

Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}$ .

Lời giải:

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$  (do ABCD là hình bình hành).

Do đó, $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$  (đpcm).

Câu 16: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng:

AC² + BH² = AB² + CH².

Lời giải:

Vì tam giác ABH vuông tại H nên AB² = AH² + BH² (định lí Pythagore).

Suy ra BH² = AB² – AH².

Vì tam giác ACH vuông tại H nên AC² = AH² + HC² (định lí Pythagore).

Do đó ta có: AC² + BH² = (AH² + HC²) + (AB² – AH²) = AB² + HC² (đpcm).2^{2222222======}

Câu 17: Cho đường thẳng y = 2x + 2.

a) Vẽ y = 2x + 2.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 2 với trục hoành Ox.

Lời giải:

a) Với x = 0 thì y = 2, với y = 0 thì x = – 1. Do đó đường thẳng y = 2x + 2 đi qua hai điểm A(0; 2) và B(– 1; 0).

b) Ta có: OA = 2, OB = 1.

Góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 2 với trục hoành Ox là góc ABO.

Xét tam giác ABO vuông tại O, ta có: tanABO = $\frac{AO}{BO}=\frac{2}{1}=2$ .

Suy ra $\widehat{ABO}\approx 63°26\text{'}$ .

Câu 18: Tìm m để hai đường thẳng (d₁): y = 3mx – m² và (d₂): y = 3x + m – 2 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.

Lời giải:

Ta có: (d₁) cắt (d₂) tại 1 điểm trên trục tung ⇔ a ≠ a′; b = b′.

Ta có: a ≠ a′ ⇔ 3m ≠ 3 ⇔ m ≠ 1.

b = b′ ⇔ − m² = m – 2 ⇔ m² +m - 2 = 0 ⇔ m = 1 (loại) hoặc m = – 2 (t/m).

Vậy m = – 2 thì (d₁) cắt (d₂) tại 1 điểm trên trục tung.

Câu 19: Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có: n³ – n = n(n² – 1) = n(n – 1)(n + 1).

Với n ∈ ℤ thì (n – 1), n, (n + 1) là ba số nguyên liên tiếp.

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chẵn nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2.

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3.

Do đó tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho cả 2 và 3.

Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho 6 hay n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Câu 20: Cho hình vẽ. Biết CD = 3 cm, giá trị của x là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác CBD vuông tại D, nên ta có: BC = $\frac{CD}{\sin B}=\frac{3}{\sin 30°}=6$  (cm).

Vì tam giác ACB vuông tại C, nên ta có: x = AC = BC tanB = 6 . tan30° = $2\sqrt{3}$  (cm).

Câu 21: Tìm x, biết: x : 0,25 + x × 11 = 24.

Lời giải:

x : 0,25 + x × 11 = 24

x : $\frac{1}{4}$  + x × 11 = 24

x × 4 + x × 11 = 24

x × (4 + 11) = 24

x × 15 = 24

x = $\frac{24}{15}$ .

Vậy x = $\frac{24}{15}$ .

Câu 22: Mọi số thực đều có căn bậc 3, đúng hay sai?

Lời giải:

+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a.

+ Căn bậc ba của số a được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ .

Như vậy ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=a$ .

Mọi số thực đều có căn bậc ba.

Câu 23: Tìm m để đa thức A(x) = x³ – 3x² + 5x + m chia hết cho đa thức B(x) = x – 2.

Lời giải:

Ta có:

Do đó, A(x) chia hết cho B(x) khi m + 6 = 0, suy ra m = – 6.

Câu 24: Giải phương trình: cos3x – sin3x = 1.

Lời giải:

Ta có: cos3x – sin3x = 1

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là $x=k\frac{2\pi }{3}$ , $x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Câu 25: Cho ba điểm A(– 4; 0), B(0; 3) và C(2; 1). Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ .

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(4;3\right),\overrightarrow{AC}=\left(6;1\right)$ .

Do đó, $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$  = 2.(4; 3) – (6; 1) = (2 . 4 – 6; 2 . 3 – 1) = (2; 5).

Vậy $\overrightarrow{u}=\left(2;5\right)$ .

Câu 26: Bác Năm dự định trồng khoai lang và khoai mì trên mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha khoai lang thì cần 10 ngày công và thu được 20 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha khoai mì thì cần 15 ngày công và thu được 25 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng được không quá 90 ngày công cho việc trồng khoai lang và khoai mì.

Lời giải:

Gọi x, y (ha) lần lượt là diện tích trồng khoai lang và khoai mì (x, y ≥ 0).

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}10x+15y\le 90\\ x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ .

Số tiền thu được khi trồng x ha khoai lang và y ha khoai mì là F(x; y) = 20x + 25y (triệu đồng).

Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}10x+15y\le 90\\ x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$  để F(x; y) = 20x + 25y lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}10x+15y\le 90\\ x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$  lên mặt phẳng tọa độ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}10x+15y\le 90\\ x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ là miền tứ giác OABC với O là gốc tọa độ, A(0; 6), B(6; 2), C(8; 0).

Ta có: F(0; 0) = 0

F(0; 6) = 20 . 0 + 25 . 6 = 150

F(6; 2) = 20 . 6 + 25 . 2 = 170

F(8; 0) = 20. 8 + 25 . 0 = 160

Do đó, F(x; y) lớn nhất tại (x; y) = (6; 2).

Vậy bác Năm cần trồng 6 ha khoai lang và 2 ha khoai mì để thu được nhiều tiền nhất.

Câu 27: Nghiệm của phương trình cos x = 0 là

A. x = kπ, k ∈ ℤ.

B. x = k2π, k ∈ ℤ.

C. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ , k ∈ ℤ.

D. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ , k ∈ ℤ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: cos x = 0 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ , k ∈ ℤ.

Câu 28: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Lời giải:

Gọi chiều cao cột đèn là AC, AB là bóng của cột đèn trên mặt đất, AB = 7,5 m.

Góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là $\widehat{ABC}=42°$ .

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AC = AB . tanB = 7,5 . tan42° ≈ 6,753 (m).

Vậy cột đèn cao khoảng 6,753 m.

Câu 29: Cho biểu thức $P=\frac{2\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}+2}$  với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 9. So sánh P và P².

Lời giải:

Ta có: $P=\frac{{\displaystyle 2\sqrt{x}+5}}{{\displaystyle 2\sqrt{x}+2}}=\frac{2\sqrt{x}+2+3}{2\sqrt{x}+2}=1+\frac{3}{2\sqrt{x}+2}$

Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 9 ta có:  $2\sqrt{x}+2>0\forall x\in ℝ\Rightarrow \frac{3}{2\sqrt{x}+2}>0\forall x\in ℝ$

$\Rightarrow 1+\frac{3}{2\sqrt{x}+2}>1\forall x\in ℝ$ hay P > 1 với mọi số thực x nên P < P².

Câu 30: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.

Lời giải:

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại B và C. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AB = AC.

Vì DB, DM là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại B và M. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM.

Vì EM, EC là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại M và C. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: EM = EC.

Chu vi tam giác ADE là:

AD + DE + EA

= AD + (DM + ME) + EA

= (AD + DM) + (ME + EA)

= (AD + DB) + (EC + EA) (do DB = DM, EM = EC)

= AB + AC = 2AB (do AB = AC).

Câu 31: Cho ba điểm A (1; −1), B (2; 1), C (−3; 1). Chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng AC.

Lời giải:

Gọi pt đường thẳng AB có dạng  y = ax + b, do AB đi qua A và B nên:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}a+b=-1\\ 2a+b=1\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=2\\ b=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

⇒ y = 2x – 3

Gọi phương trình đường thẳng AC có dạng y = cx +d

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a+b=-1\\ -3a+b=1\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=-\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \Rightarrow y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Do tích 2 hệ số góc $2.\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ .

Vậy AB và AC vuông góc.

Câu 32: Cho ba điểm A (1; 1); B (2; 0); C (3; 4). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B, C.

A. 4x – y – 3 = 0; 2x – 3y + 1 = 0;

B. 4x – y – 3 = 0; 2x + 3y + 1 = 0

C. 4x + y – 3 = 0; 2x – 3y + 1 = 0;

D. x – y = 0; 2x – 3y + 1 = 0.

Lời giải:

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cách đều B, C. Khi đó ta có các trường hợp sau:

TH1: d đi qua trung điểm của BC.

$I\left(\frac{5}{2};2\right)$ là trung điểm của BC.

$\overrightarrow{AI}=\left(\frac{3}{2};1\right)$ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d.

Khi đó (d): – 2(x – 1) + 3(y – 1) = 0 ⟺ 2x – 3y + 1 = 0.

TH2: d song song với BC, khi đó d nhận $\overrightarrow{BC}=\left(1;4\right)$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: – 4(x – 1) + y – 1 = 0 ⇔ 4x – y – 3 = 0.

Đáp án đúng là: A

Câu 33: Tìm tập xác định $\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định khi $\left\{\begin{array}{c}x-1\ge 0\\ x-3\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x\ne 3\end{array}\right.$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left[-1;+\infty \right)/\left\{-3\right\}$ .

Câu 34: Tìm tập xác định D của hàm số $y=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định khi

$\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ x+3\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x\ge -3\end{array}\right.\iff x\ge -2$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left[-2;+\infty \right)$

Đáp án đúng là B.

Câu 35: Cho tam giác ABC có h_b + h_c = 2h_a. Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2}{\sin A}.$

Lời giải:

Ta có: h_b + h_c = 2h_a

$$\begin{gathered} \iff \frac{2S_{ABC}}{b}+\frac{2S_{ABC}}{c}=\frac{4S_{ABC}}{a} \\ \iff \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{a} \end{gathered}$$

Áp dụng định lý Sin trong tam giác ABC:

$\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2R}{b}+\frac{2R}{c}=2R\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$; (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

$\Rightarrow \frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=2R.\frac{2}{a}=\frac{4R}{a}=\frac{2}{\sin A}$.

Vậy $\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2}{\sin A}$ .

Câu 36: Định nghĩa hình chiếu là gì?

Lời giải:

Hình chiếu là hình biểu diễn một mặt nhìn thấy của vật thể đối với người quan sát đứng trước vật thể, phần khuất được thể hiện bằng nét đứt.

Câu 37: Số liền trước của số tròn chục lớn nhất có 6 chữ số khác nhau là?

Lời giải:

Số tròn chục lớn nhất có 6 chữ số khác nhau là số 987650.

Vậy số liền trước của số tròn chục lớn nhất có 6 chữ số khác nhau là số 987649.

Câu 38: Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc m. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để d cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$  (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị?

Lời giải:

Đường thẳng d có dạng y = m(x – 1) = mx – m.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x+2}{x-1}=mx-m$ với (x ≠ 1)

⇔ x + 2 = (mx – m)(x – 1)

⇔ mx² – (2m + 1)x + m – 2 = 0 (1)

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂ hay (x₁ – 1)(x₂ – 1) < 0

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \Delta >0\\ \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ 12m+1>0\\ x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m>-\frac{1}{12}\\ \frac{m-2}{m}-\frac{2m+1}{m}+1=-\frac{3}{m}<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m>-\frac{1}{12}\\ m>0\end{array}\right. \end{gathered}$$

⇔ m > 0

Vậy m > 0.

Câu 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (2; 4), B (5; 1), C(– 1; – 2). Phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{BC}$  biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Lời giải:

Tọa độ vectơ $\overrightarrow{BC}$ = (–1 – 5; – 2 – 1) = ( – 6; – 3);

Gọi G (x₁; y₁) là trọng tâm tam giác ABC.

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{2+5-1}{3}\\ y_1=\frac{4+1-2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1=2\\ y_1=1\end{array}\right.$

⇒ Tọa độ trong tâm tam giác ABC là G (2; 1).

Gọi G^’ (x₂; y₂) là trọng tâm tam giác A'B'C'.

Phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{BC}$  biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' nên G(2; 1) cũng tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{BC}$  thành G’ (x₂; y₂).

Ta có:  $\overrightarrow{GG\text{'}}$ = $\overrightarrow{BC}$ = ( – 6; – 3)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_2-2=-6\\ y_2-1=-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{x}_2=-4\\ y_2=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy G’ (– 4; – 2).

Câu 40: Một lớp học có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Tính tỉ số phần trăm của học sinh nữ so với học sinh nam.

Lời giải:

Tỉ số phần trăm của học sinh nữ so với học sinh nam là :

15 : 25 × 100 = 60 %

Đáp số: 60%.

Câu 41: Một tổ có 25 học sinh nam, 15 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 em làm lớp trưởng?

A. 15;

B. 40;

C. 39;

D. 25.

Lời giải:

Tổng số học sinh của tổ là: 25 + 15 = 40 (học sinh);

Vậy số cách để chọn ngẫu nhiên 1 em làm lớp trưởng là 40 cách.

Câu 42: Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 12 m, chiều rộng bằng $\frac{1}{3}$  chiều dài. Để lát nền căn phòng đó, người ta dùng loại gạch men hình có có cạnh 8 dm. Hỏi căn phòng đó được lát bao nhiêu viên gạch men đó? (Phần diện tích mạch vữa không đáng kể).

Lời giải:

Chiều dài của căn phòng :

$12\times \frac{1}{3}=4$(m) = 40 (dm)

Ta có: 12 m = 120 dm

Diện tích của căn phòng :

120 × 40 = 4 800 (dm²)

Diện tích mỗi viên gạch men :

8 × 8 = 16 (dm²)

Số viên gạch men dùng để lát căn phòng là

4800 : 16 = 300 (viên gạch men)

Đáp số: 300 viên gạch men

Câu 43: Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4 m chiều rộng bằng $\frac{3}{4}$  chiều dài. Người ta lát nền căn phòng bằng gạch men hình vuông có cạnh 2 dm. Hỏi cần bao nhiêu viên gạch men để lát kín phòng đó? (không tính mạch vữa)

Lời giải:

4 m = 40 dm

Chiều rộng căn phòng là :

40 : ( 4 − 3) × 3 = 120  (dm)

Chiều dài căn phòng là :

40 : ( 4 − 3 ) × 4 = 160 (dm)

Diện tích căn phòng là :

120 × 160 = 19200 (dm²)

Diện tích viên gạch là :

 2 × 2 = 4 (dm²)

Cần số gạch để lát căn phòng là :

 19200 : 4 = 4800 (viên gạch)

Đáp số: 4800 viên gạch.

Câu 44:  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ .

Lời giải:

Điều kiện xác định của biểu thức: 2 ≤ x ≤ 4.

Ta có: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2\left(a+b\right)}$  (với a, b ≥ 0).

Nên $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le \sqrt{2\left(x-2+4-x\right)}$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le 2$

Do đó GTLN của biểu thức là 2.

Ta có: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$

Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0;

Áp dụng vào biểu thức:

 $$\begin{gathered} \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge \sqrt{x-2+4-x} \\ \Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\ge \sqrt{2} \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra $\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=4\end{array}\right.$ .

GTNN của biểu thức là: $\sqrt{2}$  với x = 2 hoặc x = 4.

Câu 45: Tìm x biết: (x – 5)(x – 4) – (x + 1)(x – 2) = 7

Lời giải:

(x – 5)(x – 4) – (x + 1)(x – 2) = 7

⇔ x² – 4x – 5x + 20 – (x² – 2x + x – 2) = 7

⇔ x² – 4x – 5x + 20 – x² + 2x – x + 2 = 7

⇔ – 8x + 22 = 7

⇔ – 8x = 7 – 22

⇔ – 8x = – 15

$$\begin{gathered} \iff x=\frac{-15}{-8} \\ \iff x=\frac{15}{8} \end{gathered}$$

Vậy $x=\frac{15}{8}$ .

Câu 46: Chứng minh  A = n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ chia hết cho 9 với mọi n ∈ ℕ*.

Lời giải:

A = n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³

= n³ + n³ + 3n² + 3n + 1 + n³ + 6n² + 12n + 8

= 3n³ + 9n² + 15n + 9

= 3n² (n + 1) + 6n ( n + 1) + 9 (n +1)

= 3 (n + 1)(n² + 2n + 3)

=3(n + 1)[n (n + 2) + 3]

= 3n (n + 1)(n + 2) + 9( n + 1)

Ta có: n; n + 1; n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

⇒ 3n(n + 1)(n + 2) ⋮ 9

Mặc khác: 9(n + 1) ⋮ 9

⇒ A = 3n (n + 1)(n + 2) + 9(n + 1) ⋮ 9.

Vậy A = n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ ⋮ 9.

Câu 47: Một chiếc thùng không cân nặng 8,7 kg, mỗi lít dầu cân nặng 0,95 kg. Hỏi thùng đó đựng 25 lít dầu cân nặng bao nhiêu kg?

Lời giải:

Số cân nặng của 25 lít dầu là:

25 × 0,95 = 23,75 (kg)

Tổng số cân nặng của thùng đựng 25 lít dầu là:

23,75 + 8,7 = 32,45 (kg).

Đáp số: 32,45 kg.

Câu 48: Thị trấn A cách thị trấn B là 20 km theo đường thẳng. Một người đi xe đạp rời thị trấn A và đi đến thị trấn B với tốc độ 20 km/h. Vào đúng thời điểm đó, người đi xe đạp thứ hai rời thị trấn B đi đến thị trấn A với tốc độ 15 km/h.

a) Hai người đi xe đạp sẽ gặp nhau ở đâu giữa hai thị trấn?

b) Khoảng thời gian từ lúc xuất phát đến khi họ gặp nhau (tính bằng phút)?

Lời giải:

a) Gọi s (km) là khoảng cách từ thị trấn A đến điểm gặp nhau.

Thời gian chuyển động của hai người là như nhau (do xuất phát cùng lúc) nên:

$$\begin{gathered} t_1=t_2\iff \frac{s_1}{v_1}=\frac{s_2}{v_2} \\ \Rightarrow \frac{s}{20}=\frac{20-s}{15}\iff s=\mathrm{11,4} \end{gathered}$$

Từ đây ta có s = 11,4 km.

Vậy hai người đi xe đạp sẽ gặp nhau ở vị trí cách thị trấn A là 11,4 km.

b) Thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau:

$t=\frac{s}{v}=\frac{\mathrm{11,4}}{20}=\mathrm{0,57}$ (giờ) = 34,2 (phút).

Câu 49: Tìm m để y = 2x³ − mx² + 2x đồng biến trên (−2; 0).

Lời giải:

Ta có:

$y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=6x^2-2mx+2$ (1)

Đề hàm số đồng biến trên (− 2; 0) $\iff f\left(x\right)\ge 0;\forall x\in (-2;0)$

$$\begin{gathered} \iff 6x^2+2\ge 2mx \\ \iff \frac{3x^2+1}{x}\le m \end{gathered}$$

$\iff m\ge \max \left(\frac{3x^2+1}{x}\right)$ với $x\in (-2;0)$

Xét $g\left(x\right)=\frac{3x^2+1}{x}\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=\frac{3x^2-1}{x^2}=0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow g\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vậy $m\ge -2\sqrt{3}$ .

Câu 50: Rút gọn phân thức: $\frac{x^3-7x-6}{x^2{\left(x-3\right)}^2+4x{\left(x-3\right)}^2+4{\left(x-3\right)}^2}$ .

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 3; x ≠ − 2.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 15)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 16)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 18)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 19)

1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 20)