Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức căn (x - 2) + căn (4 + x)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức căn (x - 2) + căn (4 + x)

Đề bài:  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ .

Lời giải:

Điều kiện xác định của biểu thức: 2 ≤ x ≤ 4.

Ta có: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2\left(a+b\right)}$  (với a, b ≥ 0).

Nên $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le \sqrt{2\left(x-2+4-x\right)}$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le 2$

Do đó GTLN của biểu thức là 2.

Ta có: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$

Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0;

Áp dụng vào biểu thức:

 $$\begin{gathered} \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge \sqrt{x-2+4-x} \\ \Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\ge \sqrt{2} \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra $\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=4\end{array}\right.$ .

GTNN của biểu thức là: $\sqrt{2}$  với x = 2 hoặc x = 4.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: