Hình chiếu là gì? Tính chất, phân loại hình chiếu. Mối quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

Hình chiếu là gì? Tính chất, phân loại hình chiếu

I. Hình chiếu là gì?

Hình chiếu là hình biểu diễn ba chiều của đối tượng lên mặt phẳng hai chiều. Yếu tố cơ bản giúp tạo nên chiếu chính là đối tượng cần chiếu, mặt phẳng chiếu và phép chiếu.

Hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên đường chiếu chính là khoảng cách giữa hai đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho trước. Hình chiếu của một điểm tức là giao điểm của đường thẳng đã cho trước, và đường thẳng kẻ từ điểm vuông góc.

II. Tính chất của hình chiếu

• Xác định vị trí: Hình chiếu của một điểm được xác định dựa trên đường thẳng đã cho. Nếu điểm thuộc đường đó, hình chiếu sẽ trùng hoàn toàn với chính điểm đó.

• Mối quan hệ đồng hướng: Hai điểm gần nhau trên một đường thẳng sẽ có hình chiếu tương ứng gần nhau và cùng nằm về một phía của đường thẳng.

• Phạm vi: Hình chiếu của một điểm thuộc đoạn thẳng có thể rơi vào đoạn thẳng hoặc nằm trên phần kéo dài của đoạn đó, phụ thuộc vào vị trí tương đối của điểm với đường thẳng.

• Tương ứng khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm được giữ nguyên khi so sánh với khoảng cách giữa hình chiếu trên đường thẳng.

• Đường vuông góc: điểm hình chiếu được tạo ra, đường kẻ từ điểm tới đường thẳng sẽ có góc vuông 90 độ với đường thẳng đó.

III. Phân loại hình chiếu

Hình chiếu gồm 2 loại hình chiếu đó là chiếu thẳng góc và hình chiếu trục đo:

- Hình chiếu thẳng góc

Hình chiếu thẳng góc là loại hình chiếu biểu diễn theo cách đơn giản, hình dạng, kích thước của vật thể đã được bảo toàn và cho phép thể hiện hình dạng, kích thước vật thể một cách chính xác.

Với mỗi hình chiếu thẳng góc sẽ chỉ thể hiện được hai chiều. Nên chúng ta cần phải dùng đến nhiều hình chiếu để biểu diễn nhất là đối với những vật thể phức tạp. Có ba hình chiếu phổ biến đó là: hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng.

- Hình chiếu trục đo

Hình chiếu trục đo có thể biểu diễn được hết ba chiều của vật thể lên mặt phẳng chiếu. Và các tia chiếu song song với nhau. Sẽ tùy thuộc và phương chiếu là vuông góc hay góc xiên. Theo sự tương quan của ba chiều, sẽ được phân ra gồm có hai loại hình chiếu là hình chiếu trụ đo vuông goc và hình chiếu trục đo xiên góc và hình chiếu phối cảnh, cụ thể các loại hình chiếu này là:

• Hình chiếu trục đo vuông góc: có đều ba hệ số biến dạng với ba trục bằng nhau; sẽ cân hai trong ba hệ số biến dạng có từng đôi một bằng nhau; sẽ lệch ba hệ số biến dạng, với ba chục không bằng nhau

• Hình chiếu trục đo xiên góc: đo xiên góc đều; đo xiên góc cân; đo xiên góc lệch

• Hình chiếu phối cảnh được sử dụng phép chiếu xuyên tâm, các toa chiếu hội tụ về một điểm gọi là điểm tụ. Dựa vào số lượng điểm tụ mà chia ra hình chiếu phối cảnh 1 điểm tụ, 2 điểm tụ và 3 điểm tụ. Ngoài ra còn có hình chiếu phối cảnh Curvilinnear perpective dùng khung cơ sở là mạng đường cong cho phép thể hiện cả hưởng nhìn từ trên xuống ( bird's eye view ) và hướng nhìn từ dưới lên ( worm 's eye view ). Hình chiếu phối cảnh rút gọn khoảng cách foresshoting khiến cho khoảng cách trông có vẻ gần hơn về hướng người xem.

IV. Các loại phép chiếu

• Xuyên tâm: Đây là dạng phép chiếu mà các tia chiếu hội tụ tại một điểm duy nhất, gọi là tâm chiếu S.

• Song song: Ở dạng này, các tia chiếu luôn song song với nhau và với một hướng nhất định L. Phép chiếu song song thường được sử dụng trong các phương pháp biểu diễn vật thể bằng hình chiếu trục đo, cho phép trình bày toàn bộ hình dạng ba chiều trên một mặt phẳng.

• Vuông góc: Loại phép chiếu này có các tia chiếu song song với nhau, đồng thời hướng chiếu L tạo góc vuông với mặt phẳng chiếu.

V. Cách tìm hình chiếu trên một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng

Phương pháp giải

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

- Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa điểm A và vuông góc với d

- Tìm H là giao điểm của d và ( P ) ⇒ H là giao điểm của A trên d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng ( P )

- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P )

- Tìm H là giao điểm của d và ( P ) ⇒ H là giao điểm của A trên ( P )

Ví dụ minh họa: Tìm hình chiếu vuông góc của A (1; 2; 1) trên đường thẳng d: $\frac{x + 2}{1}=\frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-2}$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}= (1; 2; -2)$

Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vecto chỉ phương của d làm vecto pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

1.(x - 1) + 2. y - 2) - 2.(z - 1) = 0

hay x + 2y - 2z - 3 = 0

Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H (t - 2; 2t + 1; -2t - 1) thỏa mãn:

t - 2 + 2. (2t + 1) - 2.(2t - 1) - 3 = 0

⇔ t = $\frac{1}{9}$

Vậy H là hình chiếu của A trên d là H $(\frac{-17}{9}; \frac{11}{9}; \frac{-11}{9})$

VI. Hình chiếu vuông góc là gì?

Hình chiếu vuông góc trên một mặt phẳng là hình chiếu hợp với mặt phẳng một góc bằng 90 độ.

Nếu AH vuông góc với mặt phẳng (Q) tại H thì điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Q).

Các loại hình chiếu vuông góc:

- Hình chiếu đứng nhìn từ mặt trước của mặt phẳng

- Hình chiếu cạnh nhìn từ bên trái hoặc bên phải vật thể

- Hình chiếu bằng nhìn từ trên xuống vật thể.

VII. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :

- Đoạn thẳng AH : gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.

- Điểm H : gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

- Đoạn thẳng AB : gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

- Đoạn thẳng HB : gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Định lí 1:

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Định lí 2:

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

- Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.