Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 986 19/10/2024

Trang trước

Trang sau

Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Đề bài: Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

*Phương pháp giải:

- ta tách n^3 - n ra trước để nhìn thấy dễ hơn thứ tự các hạng tử: n(n-1)(n+1)

- xét thứ tự các hạng tử ( do n luôn nguyên )

+ (n-1)n: 2 số liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

+ Tương tự: (n-1).n.(n+1) chia hết cho 3

+ do chia hết cho 2 và 3 nên cũng sẽ chia hết cho 6

*Lời giải:

Ta có: n³ – n = n(n² – 1) = n(n – 1)(n + 1).

Với n ∈ ℤ thì (n – 1), n, (n + 1) là ba số nguyên liên tiếp.

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chẵn nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2.

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3.

Do đó tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho cả 2 và 3.

Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho 6 hay n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

* Lý thuyết và các dạng bài về quan hệ chia hết - tính chất chia hết

Khái niệm về chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b $(b \neq 0)$ .

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b. Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Lưu ý:

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là $a ⋮ b$ .

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là $a ⋮ b$ .

Cách tìm bội của một số

Để tìm các bội của $n (n \in ℕ^{*})$ ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3, …. Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n.

Cách tìm ước của một số

Để tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n.

Tính chất chia hết của một tổng

Tổng quát: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Cụ thể đối với tổng 2 số hạng:

Nếu $a ⋮ m$ và $b ⋮ m$ thì $(a + b) ⋮ m$ .

Khi đó ta có: (a + b) : m = a : m + b : m.

Tính chất chia hết của một hiệu

Tổng quát: Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

Cụ thể: Với $a \geq b$ :

Nếu $a ⋮ m$ và $b ⋮ m$ thì $(a - b) ⋮ m$ .

Khi đó ta có: (a – b) : m = a : m – b : m.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Trắc nghiệm Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết (Cánh diều) có đáp án - Toán 6

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Tính tổng 3 + 6 + 12 + 24 + … + 3072...

Chúng tỏ rằng với a, b ∈ ℕ thì ƯCLN (a, b) = ƯCLN (5a + 2b, 7a + 3b ...

Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng ...

Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh: các vectơ AC + BD = AD + BC ...

Cho P = căn x / căn x + 2 ...

Tìm tập tất cả các nghiệm của phương trình sin 2x + 2sin^2 x – 6sin x – 2cos x + 4 = 0 ...

Khoảng cách BC trong hình vẽ dưới đây bằng bao nhiêu mét, biết M và N ...

Giải phương trình sau: 5sin x – 2 = 3(1 – sin x)tan^2 x ...

Chứng minh rằng x^8n + x^4n + 1 chia hết cho x^2n + x^n + 1, với mọi số tự nhiên n ...

Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 là bao nhiêu ...

Góc chung là gì ...

Góc AEB là góc chung của những tam giác nào ...

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng ...

Tìm các ước của 240 ...

Cho hình bình hành ABCD. Dựng AM = BA, MN = DA, NP = DC ...

Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng ...

Cho đường thẳng y = 2x + 2 ...

Tìm m để hai đường thẳng (d1): y = 3mx – m^2 và (d2): y = 3x + m – 2 ...

Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n ...

Cho hình vẽ. Biết CD = 3 cm, giá trị của x là ...

Tìm x, biết: x : 0,25 + x × 11 = 24 ...

Mọi số thực đều có căn bậc 3, đúng hay sai ...

Tìm m để đa thức A(x) = x^3 – 3x^2 + 5x + m chia hết cho đa thức B(x) = x – 2 ...

Giải phương trình: cos3x – sin3x = 1 ...

Cho ba điểm A(– 4; 0), B(0; 3) và C(2; 1). Xác định tọa độ của vectơ ...

Bác Năm dự định trồng khoai lang và khoai mì trên mảnh đất có diện tích 8 ha ...

Nghiệm của phương trình cos x = 0 là ...

Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất ...

Cho biểu thức P = (2căn x + 5) / (2căn x + 2) với x ≥ 0, x khác 1, x khác 9 ...

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC ...

Cho ba điểm A (1; −1), B (2; 1), C (−3; 1). Chứng minh đường thẳng AB vuông góc...

Cho ba điểm A (1; 1); B (2; 0); C (3; 4). Viết phương trình đường thẳng đi qua A...

Tìm tập xác định (căn x - 1) / (x - 3)...

Tìm tập xác định D của hàm số y = căn (x + 2) - căn (x + 3)...

Cho tam giác ABC có hb + hc = 2ha. Chứng minh rằng...

Định nghĩa hình chiếu là gì...

Số liền trước của số tròn chục lớn nhất có 6 chữ số khác nhau là...

Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc m...

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (2; 4), B (5; 1...

Một lớp học có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ...

Một tổ có 25 học sinh nam, 15 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 em...

Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 12 m, chiều rộng bằng...

Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4 m chiều rộng bằng...

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức căn (x - 2) + căn (4 + x)...

Tìm x biết: (x – 5)(x – 4) – (x + 1)(x – 2) = 7...

Chứng minh A = n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 chia hết cho 9 với mọi n...

Một chiếc thùng không cân nặng 8,7 kg, mỗi lít dầu cân nặng 0,95 kg...

Thị trấn A cách thị trấn B là 20 km theo đường thẳng...

Tìm m để y = 2x^3 − mx^2 + 2x đồng biến trên (−2; 0...

Rút gọn phân thức: (x^3 - 7x - 6) / ( x^2(x - 3)^2 + 4x(x - 3)^2 + 4(x - 3)^2 )...

1 986 19/10/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: