1500 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 63)

1500 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 63)

Câu 1: Xác định a, b, c biết parabol y = ax² + bx + c đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh là I(6; −12).

Lời giải:

+ Parabol y = ax² + bx + c đi qua điểm A(8; 0)

⇒ 0 = a.8² + b.8 + c ⇒ 64a + 8b + c = 0 (1).

+ Parabol y = ax² + bx + c có đỉnh là I (6; –12) suy ra:

$\frac{-b}{2a}=6\Rightarrow b=-12a$ (2).

$\frac{-\Delta }{4a}=-12\Rightarrow \Delta =48a\Rightarrow b^2-4ac=48a$ (3) .

Thay (2) vào (1) ta có: 64a − 96a + c = 0 ⇒ c = 32a.

Thay b = −12a và c = 32a vào (3) ta được:

(−12a)² − 4a.32a = 48a

⇒ 144a² − 128a² = 48a

⇒ 16a² = 48a

⇒ a = 3 (vì a ≠ 0).

Từ a = 3 ⇒ b = −36 và c = 96.

Vậy a = 3; b = −36 và c = 96.

Câu 2: Biết giá bán 1 kg cam cao hơn 10% so với giá 1 kg xoài. Hỏi giá 1 kg xoài thấp hơn giá 1 kg cam bao nhiêu %.

2²²²

Lời giải:

Vì 1 kg cam cao hơn 10% so với giá 1 kg xoài

Do đó giá 1 kg xoài thấp hơn giá 1 kg cam 10%

Đáp số: 10%.

Câu 3: Bạn Hoa ra chợ mua hoa quả. Giá tiền 1 kg Cam hơn giá 1 kg Ổi là 17 000 đồng. Bạn Hoa đã mua 3 kg Cam và 8 kg Ổi, tổng cộng hết 139 000 đồng. Em hãy tính giùm bạn Hoa xem mỗi kg trái cây có giá bao nhiêu tiền?

2²²²

Lời giải:

Gọi x (đồng) là giá tiền 1 kg cam (0 < x < 17 000)

Do đó x − 17 000 là giá tiền 1 kg ổi

Ta lập được phương trình: 3x + 8(x − 17 000) = 139 000

⇔ 3x + 8x − 136 000 = 139 000

⇔ 11x = 275 000

⇔ x = 25 000 (TMĐK)

Suy ra giá tiền 1 kg ổi là:

 25 000 − 17 000 = 8 000 (đồng)

Vậy 1 kg cam có giá 25 000 đồng; 1 kg ổi có giá 8 000 đồng.

Câu 4: Một tàu hỏa cần chở 920 hành khách đi du lịch. Biết rằng mỗi toa có 10 khoang, mỗi khoang có 5 chỗ ngồi. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu toa để chở hết số hành khách đi du lịch.

Lời giải:

Số người mỗi toa có là:

5.10 = 50 (người)

Ta có: 920 : 50 = 18 (dư 20)

Nên cần thêm 1 toa nữa để chở hết 20 người còn lại.

Vậy cần ít nhất: 18 + 1 = 19 (toa)

Câu 5: Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 8, 25, 125, 11.

Lời giải:

- Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng chia hết cho 2.

- Dấu hiệu chia hết cho 5: Có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

- Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.

- Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9.

- Dấu hiệu chia hết cho 4: Hai chữ số tận cùng chia hết cho 4.

- Dấu hiệu chia hết cho 25: Hai chữ số tận cùng chia hết cho 25.

- Dấu hiệu chia hết cho 8: Ba chữ số tậ cùng chia hết cho 8.

- Dấu hiệu chia hết cho 125: Ba chữ số tận cùng chia hết cho 125.

- Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng accs chữ số hàng lẻ bằng tổng các chữ số hàng chẵn.

Câu 6: Trên mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(−2; −2) và B(5; −4).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác OAB.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(2; 0).

 Lời giải:

a) Trọng tâm G có tọa độ

 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{x_O+x_A+x_B}{3}=1\\ y=\frac{y_O+y_A+y_B}{3}=-2\end{array}\right.$

Vậy G(1; −2).

b) Gọi C(x_C; y_C) là tọa độ điểm C thì ta có:

 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_C-2+5}{3}=2\\ \frac{y_C-2-4}{3}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3\\ y_C=6\end{array}\right.$

Vậy C(3; 6)

Câu 7: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a³(b − c) + b³(c − a) + c³(a − b) = 0. Chứng minh: tam giác ABC cân.

Lời giải:

a³(b − c) + b³(c − a) + c³(a − b) = 0

⇔ a³b − a³c + b³c − ab³ + c³(a − b) = 0

⇔ a³b − a³c + b³c − ab³ + c³(a − b) = 0

⇔ ab(a² − b²) − c(a³ − b³) + c³(a − b) = 0

⇔ ab(a − b)(a + b) − c(a − b)(a² + ab + b²) + c³(a − b) = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − c(a² + ab + b²) + c³] = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − c(a² + ab + b²) + c³] = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − ac(a + b) + b²c + c³] = 0

⇔ (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b² − c²)] = 0

⇔ (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b − c)(b + c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[a(a + b) − c(b + c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[(a² − c²) + (ab − bc)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[(a − c)(a + c) + b(a − c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)(a − c)(a + b + c) = 0

⇒ (a − b)(b − c)(a − c) = 0

 $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ a=c\end{array}\right.$

Vậy ABC là tam giác cân.

Câu 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh: a³ + b³ + c³ = 3abc.

Lời giải:

a + b + c = 0

⇒ (a + b + c)³ = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab² + 3abc) + (3b²c + 3bc² + 3abc) + (3a²c + 3ac² + 3abc) − 3abc = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b + c) + 3bc(a + b + c) + 3ac(a + b + c) = 3abc

Do a + b + c = 0

⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc (đpcm)

Câu 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số là $\overline{abc}\left(a\ne 0;a\ne b\ne c\right)$ .

Theo đề, ta có a + b + c = 18

⇒ (a; b; c) = {(1; 8; 9); (2; 7; 9); (3; 6; 9); (4; 5; 9); (3; 7; 8); (4; 6; 8); (5; 6; 7)}.

Vậy số tự nhiên có 3 chữ số mà tổng bằng 18 là 7.3! = 42 (số).

Câu 10: Tìm nghiệm của  đa thức: D(x) = 2x² − 13x + 15.

Lời giải:

Xét phương trình D(x) = 2x² − 13x + 15 = 0

⇔ 2x² − 10x − 3x + 15 = 0

⇔ 2x(x − 5) − 3(x − 5) = 0

⇔ (2x − 3)(x − 5) = 0

 $\iff \left[\begin{array}{l}2x-3=0\\ x-5=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ x=5\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của phương trình là  $x=\frac{3}{2};x=5.$

Câu 11: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau: Phương trình x² + mx − 35 = 0 có nghiệm  x₁ = 7.
Lời giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ x_1.x_2=-35\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7+x_2=-m\\ 7x_2=-35\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-7+5=-2\\ x_2=-5\end{array}\right.$

Vậy m = −2 là giá trị thỏa mãn.

Câu 12: Tính A = cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 70° + cos² 80°.

Lời giải:

A = cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 70° + cos² 80°

= sin² 80° + sin² 70° + sin² 60° + sin² 50° + cos² 50° + cos² 60°  + cos² 70° + cos² 80°

= (sin² 80° + cos² 80°) + (sin² 70° + cos² 70°) + (sin² 60° + cos² 60°) + (sin² 50° + cos² 50°)

= 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Câu 13: Rút gọn biểu thức: cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°.

Lời giải:

Ta có: cos x = − cos (180° − x) ⇒ cos² x = cos² (180° − x)

sin x = cos (90° − x)

sin² x + cos² x = 1

A = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

= cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

= cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 80° + cos² 90° + cos² 80° + cos² 70° + ... + cos² 0°

= cos² 0° + cos² 90° + 2(cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 80°)

= 1 + 0 + 2(cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + cos² 40° + sin² 40° + sin² 30° + sin² 20° + sin² 10°)

= 1 + 0 + 2 . 4 = 9.

Câu 14: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần tìm có dạng:

 $\overline{abcde}\left(a\ne b\ne c\ne d\ne e,a\ne 0\right)$

Lập số có 5 chữ số phân biệt bất kì: 5! cách

Lập số 5 chữ số phân biệt trong đó số 0 đứng đầu: 4! cách

⇒ Có 5! − 4! = 96 số thỏa mãn

Câu 15: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần tìm có dạng: $\overline{abcde}\left(a\ne 0\right)$

Lập số a có 5 cách

Lập số b có 6 cách

Lập số c có 6 cách

Lập số d có 6 cách

Lập số e có 6 cách

⇒ Có 5.6.6.6.6 = 6 480 số thỏa mãn

Câu 16: 7% của 100 là bao nhiêu?

Lời giải:

7% của 100 là:

100 : 100 × 7 = 7

Đáp số: 7.

Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0; 1); B(1; 3); C(2; 7) và D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.

Lời giải:     

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 1); C(2; 7) có dạng:

 $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{6}\iff 3x-y=-1$

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(1; 3) và D(0; 3) có dạng:

y = 3

Giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}3x-y=-1\\ y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=3\end{array}\right.$

Vậy $I\left(\frac{2}{3};3\right)$  là điểm cần tìm.

Câu 18: Cho 4 điểm A(1; 2) và B(−1; 4); C(2; 2); D(−3; 2). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD.

Lời giải:     

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(−1; 4) có dạng:

 $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{2}\iff x+y=3$

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm C(2; 2); D(−3; 2) có dạng:

y = 2

Giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy I(1; 2) là điểm cần tìm

Câu 19: Vẽ hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O. Lấy A thuộc tia Ox, B thuộc tia Ot, C thuộc tia Oy, D thuộc tia Oz sao cho OA = OC = 3cm, OB = 2cm, OD = 2OB.

Lời giải:

Các bạn vẽ hình theo các bước:

• Vẽ hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O

• Trên đường thẳng xy:

Lấy A thuộc tia Ox, lấy C thuộc tia Oy sao cho OA = OC = 3 cm.

• Trên đường thẳng zt:

+ Lấy B thuộc tia Ot sao cho OB = 2 cm

+ Lấy D thuộc tia Oz sao cho OD = 2OB = 2 . 2 = 4 (cm).

Câu 20: Giải phương trình: sin 5x − sin 3x + sin 8x = 0

Lời giải:

sin 5x − sin 3x + sin 8x = 0

⇔ 2cos 4x.sin x + 2sin 4x.cos 4x = 0

⇔ 2cos 4x(sin x + sin 4x) = 0

 $$\begin{gathered} \iff 4\cos 4x.\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}\cos 4x=0\\ \sin \frac{5x}{2}=0\\ \cos \frac{3x}{2}=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \frac{5x}{2}=k\pi \\ \frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\\ x=\frac{k2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},x=\frac{k2\pi }{5},x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 21: Một kho gạo có 246,75 tấn gạo người ta chuyển đi $\frac{4}{5}$  số gạo của kho. Hỏi kho còn lại bao nhiêu ki lô gam gạo?

Lời giải:

Người ta đã chuyển đi số tấn gạo là:

$\mathrm{246,75}\times \frac{4}{5}=\mathrm{197,4}$ (tấn)

Trong kho còn lại số tấn gạo là:

246,75 − 197,4 = 49,35 (tấn)

Đáp số: 49,35 tấn gạo

Câu 22: Một kho chứa 246,75 tấn gạo. Người ta chuyển đến một số lượng gạo bằng $\frac{3}{5}$  số gạo hiện có của kho. Hỏi kho đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?

Lời giải:

Người ta đã chuyển đến số tấn gạo là:

$\mathrm{246,75}\times \frac{3}{5}=\mathrm{148,05}$ (tấn)

Trong kho còn lại số tấn gạo là:

246,75 + 148,05 = 394,8 (tấn) = 394 800 (kg)

Đáp số: 394 800 kg gạo.

Câu 23: Chứng tỏ giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

(x + y + z)² + (x − y)² + (x − z)² + (y − z)² − 3(x² + y² + z²)

Lời giải:

(x + y + z)² + (x − y)² + (x − z)² + (y − z)² − 3(x² + y² + z²)

= x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx + x² − 2xy + y² + x² − 2xz + z² + y² + y² − 2yz + z² − 3(x² + y² + z²)

= 3(x² + y² + z²) − 3(x² + y² + z²) = 0

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến.

Câu 24: Rút gọn biểu thức: (x + 1)² − (x − 1)² − 3(x + 1)(x − 1).

Lời giải:

(x + 1)² − (x − 1)² − 3(x + 1)(x − 1)

= (x + 1 + x − 1)(x + 1 − x + 1) − 3(x² − 1)

= 2x . 2 − 3x² + 3

= −3x² + 4x + 3

Câu 25: Vẽ 5 hình tam giác có 9 que diêm.

Lời giải:

Từ 9 que diêm vẽ được 5 hình tam giác như sau:

Câu 26: Giải phương trình: x³ − 6x² + 5x + 12 = 0.

Lời giải:

x³ − 6x² + 5x + 12 = 0

⇔ x³ + x² − 7x² − 7x + 12x + 12 = 0

⇔ x²(x + 1) − 7x(x + 1) + 12(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)(x² − 7x + 12) = 0

⇔ (x + 1)(x² − 4x − 3x + 12) = 0

⇔ (x + 1)[x(x − 4) − 3(x − 4)] = 0

⇔ (x + 1)(x − 4)(x − 3) = 0

 $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x+1=0\\ x-4=0\\ x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=4\\ x=3\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−1; 3; 4}.

Câu 27: Sắp xếp các số đo khối lượng: 1 kg 512 g; 1 kg 5 hg; 1 kg 51 dag; 10 hg;  50 g theo thứ tự từ bé đến lớn.

Lời giải:

Đổi: 1 kg 512 g = 1512 g;

1 kg 5 hg = 1500 g;

1 kg 51 dag = 1510 g;

10 hg = 100 g.

Vì 50 g < 100 g < 1500 g < 1510 g < 1512 g.

Sắp xếp các số đo khối lượng theo thứ tự từ bé đến lớn là: 

50 g, 100 g, 1500 g, 1510 g, 1512 g.

Hay 50 g, 10 hg, 1kg 5hg, 1 kg 51 hg, 1 kg 512 g.

Vậy sắp xếp các số đo khối lượng theo thứ tự từ bé đến lớn là: 

50 g, 10 hg, 1kg 5hg, 1 kg 51 hg, 1 kg 512 g.

Câu 28: Điền số thích hợp vào chỗ chấm: 10 hg 5g = ..... g

Lời giải:

Ta có 10 hg = 1 000 g

Suy ra 10 hg 5g = 1 005 g.

Câu 29: Tính sin² 20° + sin² 30° + sin² 40° + sin² 50° + sin² 60° + sin² 70° + sin² 36° + sin² 54° − 2tan 25°.tan 65°.

Lời giải:

sin² 20° + sin² 30° + sin² 40° + sin² 50° + sin² 60° + sin² 70° + sin² 36° + sin² 54° − 2tan 25°.tan 65°

= (sin² 20° + sin² 70°) + (sin² 30° + sin² 60°) + (sin² 40° + sin² 50°) + (sin² 36° + sin² 54°)  − 2tan 25°.tan 65°

= (sin² 20° + cos² 20°) + (sin² 30° + cos² 30°) + (sin² 40° + cos² 40°) + (sin² 36° + cos² 36°)  − 2tan 25°.cot 25°

= 1 + 1 + 1 + 1 − 2.1 = 2

Câu 30: Hãy tính biểu thức sau: A = 2.sin 30° − 2.cos60° + tan 45°.

Lời giải:

A = 2.sin 30° − 2.cos60° + tan 45°

$=2.\frac{1}{2}-2.\frac{1}{2}+1=1$.

Câu 31: Cho A = [−4; 7], B = (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Tìm A ∩ B.

Lời giải:

Ta có: A = [−4; 7], B = (−∞; −2) ∪ (3; +∞)

Do đó A ∩ B = [−4; −2) ∪ (3; 7].

Vậy A ∩ B = [−4; −2) ∪ (3; 7].

Câu 32: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC. Chứng minh AM là trung trực của BC.

Lời giải:

ΔABC cân tại A nên AB = AC

M là trung điểm của BC nên MB = MC

⇒ AM là đường trung trực của BC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Vậy AM là đường trung trực của BC.

Câu 33: Chứng minh rằng a⁵ – a chia hết cho 30.

Lời giải:

a⁵ – a = a(a⁴ – 1) = a(a² – 1)(a² + 1) = a(a – 1)(a + 1)(a² – 4 + 5)

= a(a – 1)(a + 1)(a² – 4) + 5a(a – 1)(a + 1)

= a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1)

Do a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2; 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5

⇒ a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) chia hết cho 30

Mặt khác, a(a – 1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 6

⇒ 5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 30

⇒ a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 30

Vậy a⁵ – a chia hết cho 30.

Câu 34: Đoạn đường AB dài 1 km gồm hai đoạn AM và MB. Đoạn AM = $\frac{2}{3}$ đoạn MB. Hãy tính độ dài của đoạn đường MB.

Lời giải:

Đổi: 1 km = 1000 m

Ta có sơ đồ:

$\frac{2}{3}$

Độ dài đoạn đường  MB là:

1000 : (2 + 3) × 3 = 600 (m)

Đáp số: 600 m

Câu 35: Tìm trung bình cộng của các số 10; 30; 50; 70.

Lời giải:

Trung bình cộng của 4 số đó là:

(10 + 30 + 50 + 70) : 4 = 40

Đáp số: 40

Câu 36: Tìm trung bình cộng của dãy số sau: 14; 20; 26; 32; … ; 86.

Lời giải:

Số số hạng của dãy số trên là:

(86 – 14) : 6 + 1 = 13 (số)

Tổng của dãy số trên là:

(14 + 86) × 13 : 2 = 650

Trung bình cộng của dãy số trên là:

650 : 13 = 50

Đáp số: 50

Câu 37: Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 thí sinh vào một phòng thi có 20 bàn mỗi bàn một thí sinh.

Lời giải:

Mỗi cách xếp 20 thí sinh vào 20 vị trí của một phòng thi là một hoán vị của 20 phần tử,

Số cách xếp là:

P₂₀ = 20! (cách)

Vậy có 20! cách sắp xếp thoả mãn đề bài.

Câu 38: Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trường em và B là tập hợp các học sinh đang học môn Tiếng Anh của trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A.

Lời giải:

A ∪ B: tập hợp các học sinh hoặc học lớp 10 hoặc học môn Tiếng Anh của trường em.

A ∩ B: tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh của trường em.

A \ B: tập hợp các học sinh học lớp 10 nhưng không học môn Tiếng Anh của trường em.

B \ A: tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh của trường em nhưng không học lớp 10 của trường em.

Câu 39: Cho hai tập hợp:

A = {1; 3}

B = {1; 2}

Tìm A ∪ B ; A ∩ B ; A \ B ; B \ A.

Lời giải:

Ta có: A = {1; 3} và B = {1; 2}

A ∪ B={1; 2; 3}

A ∩ B = {1}

A \ B = {3}

B \ A = {2}

Câu 40: Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hoá, 6 học sinh giỏi Toán và Lý, 5 học sinh giỏi Hoá và Lý, 4 học sinh giỏi Toán và Hoá, 3 học sinh giỏi cà 3 môn. Hỏi số học sinh giỏi ít nhất 1 môn trong 3 môn là bao nhiêu em?

Lời giải:

Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

Dựa vào biểu đồ Ven ta thấy:

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: 

6 – 3 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: 

4 – 3 = 1 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa (không giỏi Toán) là: 

5 – 3 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 

10 – 3 – 3 – 1 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: 

10 – 3 – 3 – 2 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: 

11 – 1 – 3 – 2 = 5 (em)

Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn là:

3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 3 + 3 =19 (em)

Đáp số: 19 em

Câu 41: Có 40 học sinh giỏi, mỗi em giỏi ít nhất 1 môn. Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Toán, 20 em giỏi Anh. Có 8 em giỏi đúng hai môn Văn, Toán. Có 7 em giỏi đúng hai môn Toán, Anh. Có 6 em giỏi đúng hai môn Anh, Văn. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả ba môn Văn, Toán, Anh?

Lời giải:

Ta có sơ đồ Ven:

Số học sinh giỏi ít nhất hai môn là:

7 + 6 + 8 = 21 (em)

Vậy số học sinh giỏi cả ba môn Toán, Văn, Anh là:

22 + 25 + 20 – 40 – 21 = 6 (em)

Đáp số: 6 em.

Câu 42: Giải phương trình: cos² 3x = 1.

Lời giải:

cos² 3x = 1

⇔ sin² 3x = 0

⇔ sin 3x = 0

$$\begin{gathered} \iff 3x=k\pi (k\in \mathbb{Z}) \\ \iff x=\frac{k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z}) \end{gathered}$$

Vậy $x=\frac{k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

Câu 43: Tìm x, biết: 4^{2x – 3} = 2¹⁴.

Lời giải:

4^{2x – 3} = 2¹⁴

4^{2x – 3} = (2²)⁷

4^{2x – 3} = 4⁷

⇔ 2x – 3 = 7

⇔ 2x = 10

⇔ x = 5

Vậy x = 5.

Câu 44: Xác định các tập hợp A ∪ B và A ∩ B với: A = {đỏ; cam; vàng; lục; lam}, B = {lục; lam; chàm; tím}.

Lời giải:

Tập A ∪ B = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}.

Các phần tử vừa thuộc tập hợp A và B là: lục; lam.

Do đó A ∩ B = {lục; lam}.

Vậy A ∪ B = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím} và A ∩ B = {lục; lam}.

Câu 45: Xác định các tập hợp A ∪ B và A ∩ B với: A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác cân.

Lời giải:

Vì mọi tam giác đều là tam giác cân nên tập A là tập hợp con của B.

Khi đó A ∪ B = B và A ∩ B = A.

Vậy A ∪ B = B và A ∩ B = A.

Câu 46: Cho a + b + c = 0. Chứng minh a³ + b³ + c³ = 3abc.

Lời giải:

Từ giả thiết a + b + c = 0

⇒ c = −(a + b), thay vào đẳng thức cần chứng minh ta được 

a³ + b³ − (a + b)³ = −3ab(a + b)

⇔ −3ab² − 3a²b = −3ab² − 3a²b

Vậy a³ + b³ + c³ = 3abc.

Câu 47: Cho A = (2; +∞), B =  (m; +∞). Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là.

Lời giải:

Ta có: B Ì A ⇔ (m; +∞) Ì (2; +∞)

Do đó ∀x ∈ B

⇒ x ∈ A

⇒ m ³ 2.

Câu 48: Tìm tập hợp A giao B biết A = (–1; +∞) và B = (1; 2).

Lời giải:

Ta có:

• A Ç B = {x ∈ ℝ | 1 < x < 2}.

• A È B = {x ∈ ℝ | x > –1}.

Câu 49: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính BH, CH.

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AB² = BA.BC

⇔ 6² = BH.10

⇔ BH = 3,6 cm

⇒ HC = BC − BH = 10 − 3,6 = 6,4 (cm)

Vậy BH = 3,6 cm, HC = 6,4 cm.

Câu 50: Cho tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?

Lời giải:

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng $\overline{abcd}$  với a, b, c, d ∈ A  và đôi một khác nhau.

Trường hợp 1: d = 0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có  5.4.3 = 60 số.

Trường hợp 2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4

Khi đó có 4 cách chọn a (vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 số

Có tất cả số số là: 96 + 60 = 156 (số)

Vậy có 156 số.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: