Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a^3(b − c) + b^3(c − a) + c^3(a − b) = 0

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a³(b − c) + b³(c − a) + c³(a − b) = 0

Đề bài: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a³(b − c) + b³(c − a) + c³(a − b) = 0. Chứng minh: tam giác ABC cân.

Lời giải:

a³(b − c) + b³(c − a) + c³(a − b) = 0

⇔ a³b − a³c + b³c − ab³ + c³(a − b) = 0

⇔ a³b − a³c + b³c − ab³ + c³(a − b) = 0

⇔ ab(a² − b²) − c(a³ − b³) + c³(a − b) = 0

⇔ ab(a − b)(a + b) − c(a − b)(a² + ab + b²) + c³(a − b) = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − c(a² + ab + b²) + c³] = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − c(a² + ab + b²) + c³] = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − ac(a + b) + b²c + c³] = 0

⇔ (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b² − c²)] = 0

⇔ (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b − c)(b + c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[a(a + b) − c(b + c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[(a² − c²) + (ab − bc)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[(a − c)(a + c) + b(a − c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)(a − c)(a + b + c) = 0

⇒ (a − b)(b − c)(a − c) = 0

 $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ a=c\end{array}\right.$

Vậy ABC là tam giác cân.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: