Tìm a để hàm số khi x ≠ 1 có đạo hàm tại x = 1

Tìm a để hàm số khi x ≠ 1 có đạo hàm tại x = 1

Đề bài: Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{x-1}\\ akh\text{i x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}\end{array}\right.$ khi x ≠ 1 có đạo hàm tại x = 1.

Lời giải:

Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1, tức là

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=a \\ \iff \underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=a\iff 2=a \end{gathered}$$

Khi đó hàm số có dạng: $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{x-1}kh\text{ix}\ne 1\\ 2khix=1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{x^2-1}{x-1}-2}{x-1} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1-2}{x-1}=1 \end{gathered}$$

Vậy a = 2.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: