Biết rằng hàm số liên tục trên khoảng [0; 1) (với a là tham số

Biết rằng hàm số liên tục trên khoảng [0; 1) (với a là tham số

Đề bài: Biết rằng $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1},x\ne 1\\ a,x=1\end{array}\right.$  liên tục trên khoảng [0; 1) (với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị a là đúng?

A. a là 1 số nguyên;

B. a là 1 số hữu tỉ;

C. a > 5;

D. a < 0.

Lời giải:

Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1},x\ne 1\\ a,x=1\end{array}\right.$  xác định trên $\left[0;\left.1\right)\right.$ . Khi đó liên tục trên $\left[0;\left.1\right)\right.$ khi và chỉ khi

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right).(\ast )$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}f\left(1\right)=a\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}\\ =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left[(x+1)(\sqrt{x}+1).\sqrt{x}-1\right.}{\sqrt{x}-1}\\ =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left[(x+1)(\sqrt{x}\right.+1\left.)\right]=4\end{array}\right.$

⇒ (*) ⟺ a = 4.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: