Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 15,681 16/11/2024

Trang trước

Trang sau

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Đề bài: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} (m + 1) x - 2 y = m - 1 \\ m^{2} x - y = m^{2} + 2 m \end{cases}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{m + 1 - m x}{2} \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{m + 1 - m x}{2} \\ 2 x + m . \frac{m + 1 - m x}{2} = 2 m - 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{m + 1 - m x}{2} \\ 4 x + m^{2} + m - m^{2} x = 4 m - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{m + 1 - m x}{2} \\ x (m^{2} - 4) = m^{2} - 3 m + 2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = \frac{m + 1 - m x}{2} \\ x (m - 1) (m + 2) = (m - 2) (m - 1) (*) \end{cases} \end{array}$

Nếu m = 2 thì (*) ⇔ 0.x = 0, phương trình này có vô số nghiệm

Nếu m = –2 thì (*) ⇔ 0.x = 12, phương trình này vô nghiệm

Nếu m ≠ 2 và m ≠ –2 thì (*) ⇔ $x = \frac{m - 1}{m + 2}$ . Thay trở lại để tìm ra $y = \frac{m + 1 - m x}{2} = \frac{2 m + 1}{m + 2}$

Nhu vậy trong trường họp này hệ có nghiệm duy nhất:

$\{\begin{cases} x = \frac{m - 1}{m + 2} = 1 - \frac{3}{m + 2} \\ y = \frac{2 m + 1}{m + 2} = 2 - \frac{3}{m + 2} \end{cases}$

Và ta cần tìm m ∈ ℤ sao cho x, y ∈ ℤ

Ta có: Để x ∈ ℤ thì $\frac{3}{m + 2}$ ∈ ℤ ⇔ m + 2 ∈ {1; –1; 3; –3} ⇔ m ∈ {–1; –3; 1; –5}

Các giá trị này đều thỏa mãn m ≠ 2 và m ≠ –2

Vậy m ∈ {–1; –3; 1; –5}

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất sau đó giải hệ phương trình tìm nghiệm (x;y) theo tham số m.

Bước 2: Thế x và y vừa tìm được vào biểu thức điều kiện, sau đó giải tìm m.

Bước 3: Kết luận.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng $\{\begin{cases} a x + b y = c (1) \\ a' x + b' y = c' (2) \end{cases}$

Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, x và y gọi là ẩn số.

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm

chung của hai đường thẳng 𝑑: ax + by = c và d’: a’x + b’y= c’.

Trường hợp: $d \cap d' = A (x_{0}; y_{0})$ ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

*Lý thuyết:

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$(I) \{\begin{cases} ax + by = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

Ví dụ 1:

$\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 3 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$ ; $\{\begin{cases} 4 x - 3 y = 3 \\ 2 x + 2 y = 1 \end{cases}$ là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.