Cho A = 4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2). Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Cho A = 4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2). Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Đề bài: Cho $A=4a^2{b}^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)$ . Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh A > 0.

Lời giải:

$$\begin{gathered} A=4a^2{b}^2-{\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right) \\ \begin{array}{l}=\left[c^2-{\left(a-b\right)}^2\right]\left[{\left(a+b\right)}^2-c^2\right]\\ =\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\end{array} \end{gathered}$$

Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác thì ta có:

b + c – a > 0, a + c – b > 0, a + b – c > 0

Lại có: a + b + c > 0

Vậy A > 0.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: