Tìm số tự nhiên n có 3 chữ số khác nhau biết rằng nếu xóa bất kì chữ số nào của nó ta cũng được một số

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Tìm số tự nhiên n có 3 chữ số khác nhau biết rằng nếu xóa bất kì chữ số nào của nó ta cũng được một số là ước của n.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên n có dạng là $\overline{abc}$

Nếu xóa c ta được $\overline{ab}$ và $\overline{abc}⋮\overline{ab}$

Tương tự nếu xóa b ta được $\overline{ac}$ và $\overline{abc}⋮\overline{ac}$

Nếu xóa a ta được $\overline{bc}$ và $\overline{abc}⋮\overline{bc}$

$\overline{abc}⋮\overline{ab}=\left(10\overline{ab}+c\right)⋮\overline{ab}$

Vì $10\overline{ab}⋮\overline{ab}\Rightarrow c⋮\overline{ab}$

Để $c⋮\overline{ab}$ thì c = 0

Lại có: $\frac{\overline{abc}}{\overline{ac}}=\frac{\overline{ab0}+10c}{\overline{a0}+c}=\frac{100a+10b+10c}{10a+c}=\frac{10\left(10a+c\right)+10b}{10a+c}$

Suy ra: 10b ⋮ (10a + c) mà c = 0 nên 10b ⋮ 10a hay b ⋮ a

Tức a là ước của b (1)

Lại có: $\frac{\overline{abc}}{\overline{bc}}=\frac{\overline{a00}+\overrightarrow{b0}}{\overline{b0}}=\frac{100a+10b}{10b}=\frac{10\left(10a+b\right)}{10b}=\frac{10a+b}{b}=1+10.\frac{a}{b}$

Để $\overline{abc}⋮\overline{bc}$ thì a ⋮ b

Suy ra: b là ước của a (2)

Từ (1) và (2) ta có: a = b và khác 0.

Suy ra: n = {110; 220; 330; 440; 550; 660; 770; 880; 990}.