Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC)

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 696 20/02/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC).

a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH² = AE.AB.

b) Chứng minh AE. AB = AF.AC.

c) Cho chu vi các ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm. Tính diện tích ∆AEF và ∆ACB biết diện tích ∆ACB lớn hơn diện tích ∆AEF là 25 cm².

Lời giải:

15000 câu hỏi ôn tập môn Toán có đáp án (Phần 101) (ảnh 1)

a) Vì AH là đường cao (giả thiết)

AH ⊥ BC

∆AHB vuông tại H

Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)

∆AEH vuông tại E

Do đó $\hat{A E H} = \hat{A H B} = 90 °$

Xét ∆AEH và ∆AHB có:

$\hat{A E H} = \hat{A H B} = 90 °$ (chứng minh trên)

$\hat{B A H}$ chung

Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)

⇒ $\frac{A H}{A B} = \frac{A E}{A H}$ (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AE.AB. (1)

b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a) nên $\hat{A H C} = 90 °$

Vì HF ⊥ AC (giả thiết) nên $\hat{A F H} = 90 °$

Xét ∆AFH và ∆AHC có

$\hat{A F H} = \hat{A H C} = 90 °$

$\hat{H A F}$ chung

Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)

⇒ $\frac{A F}{A H} = \frac{A H}{A C}$ (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AF.AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC

c) Theo b có: AE. AB = AF.AC nên: $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$

Xét ∆AEF và ∆ACB có

$\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$

$\hat{A}$ chung

Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)

⇒ $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B} = \frac{E F}{B C}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B} = \frac{E F}{B C} = \frac{A E + A F + E F}{A C + A B + B C} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)

$\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = {(\frac{A E}{A C})}^{2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{S_{A E F}}{4} = \frac{S_{A B C}}{9} = \frac{S_{A B C} - S_{A E F}}{9 - 4} = \frac{25}{5} = 5$ (Do S_ABC – S_AEF= 25 cm²)