Cho các số thực a, b, c sao cho a + b + c = 3; a^2 + b^2 + c^2 = 29

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho các số thực a, b, c sao cho a + b + c = 3; a² + b² + c² = 29 và abc = 11. Tính a⁵ + b⁵ + c⁵.

Lời giải:

Xét: ab + bc + ca = $\frac{1}{2}\left[{\left(a+b+c\right)}^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]=\frac{1}{2}.\left(3^2-29\right)=-10$

Suy ra: a²b² + b²c² + c²a² = (ab + bc + ca)² – 2abc(a + b + c) = (-10)² – 2.11.3 = 34

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) = 3.(29 + 10) = 117

Suy ra: a³ + b³ + c³ = 150

Xét a⁵ + b⁵ + c⁵ = (a³ + b³ + c³)(a² + b² + c²) – [( a²b² + b²c² + c²a²)(a + b + c) – abc(ab + ac + bc) = 150.29 – [(34.3 – 11.(-10)] = 4138.

Vậy a⁵ + b⁵ + c⁵ = 4138.