Cho a + b + c = 0 và a^2 + b^2 + c^2 = 1. Tính a^4 + b^4 + c^4

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 1. Tính a⁴ + b⁴ + c⁴.

Lời giải:

Ta có a + b + c = 0.

⇔ (a + b + c)² = 0.

⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2 + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2(ab + bc + ca) = –2.

⇔ ab + bc + ca = –1.

Ta có ab + bc + ca = –1.

Suy ra (ab + bc + ca)² = 1.

⇔ a²b² + b²c² + c²a² + 2(ab²c + bc²a + a²bc) = 1.

⇔ a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(b + c + a) = 1.

⇔ a²b² + b²c² + c²a² + 2abc.0 = 1.

⇔ a²b² + b²c² + c²a² = 1.

Đặt P = a⁴ + b⁴ + c⁴

= (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + c²a²)

= 2² – 2.1 = 2.

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2.