Cho a, b, c, d thỏa mãn a^2 + b^2 = 25; c^2 + d^2 = 16; ac + bd ≥ 20

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = 25; c² + d² = 16; ac + bd ≥ 20. Tìm max a + d.

Lời giải:

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a=5\cos \alpha \\ b=5\sin \alpha \end{array}\right.;\left\{\begin{array}{l}c=4\cos \beta \\ d=4\sin \beta \end{array}\right.\left(0\le \alpha ,\beta \le 2\pi \right)$

Từ ac + bd ≥ 20 ta có: 20cosα.cosβ + 20sinα.sinβ ≥ 20

⇔ 20cos(α – β) ≥ 20

Vậy cos(α – β) = 1 ⇔ α – β = k2π (k ∈ ℤ) ⇔ α = β + k2π

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\cos \beta \\ \sin \alpha =\sin \beta \end{array}\right.$

Ta có: a + d = 5cosα + 4sinβ = 5cosα + 4sinα ≤ $\sqrt{5^2+4^2}.\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }=\sqrt{41}$

Dấu “=” khi: $\left\{\begin{array}{l}\frac{\cos \alpha }{5}=\frac{\sin \alpha }{4}\\ 5\cos \alpha +4\sin \alpha =\sqrt{41}\end{array}\right.$

Vậy max a + d = khi $a=5\cos \alpha =\frac{25}{\sqrt{41}};d=4\sin \beta =\frac{16}{\sqrt{41}}$ .