Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài các hình vuông ABGD và ACEF

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài các hình vuông ABGD và ACEF, vẽ đường cao AH, kéo dài HA gặp DF tại I. Chứng minh: DI = IF.

Lời giải:

Qua F kẻ đường thẳng song song với AI cắt AD tại K

Xét tam giác ABC và AKF có:

$\widehat{BAC}=\widehat{KAF}$(cùng phụ với $\widehat{CAK}$ )

$\widehat{ABC}=90°-\widehat{BAH}=\widehat{DAI}=\widehat{AKF}$(góc đồng vị)

⇒ △ABC ∽ △AKF (g.g)

⇒ $\frac{AB}{AK}=\frac{AC}{AF}=1$ (Vì ACEF là hình vuông nên AC = AF)

Suy ra: AB = AK

Mà AB = AD nên AD = AK

AI // FK nên theo định lý Ta-lét: $\frac{DI}{IF}=\frac{DA}{KA}=1$

Vậy DI = IF.