Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh

a) (ADF) // (BCE).

b) M′N′ // DF.

c) (DEF) // (MM′N′N) và MN // (DEF).

Lời giải:

a) AD // BC; BC ⊂ (BCE) nên AD // (BCE)

AF // BE; BE ⊂ (BCE) nên AF // (BCE)

Mà AD, AF ⊂ (ADF)

Vậy (ADF) // (BCE)

b) Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC = BF. Ta có:

$MM\text{'}\parallel CD\Rightarrow \frac{AM\text{'}}{AD}=\frac{AM}{AC}\left(1\right)$

$NN\text{'}\parallel AB\Rightarrow \frac{AN\text{'}}{AF}=\frac{BN}{BF}\left(2\right)$

So sánh (1) và (2) ta được:

$\frac{AM\text{'}}{AD}=\frac{AN\text{'}}{AF}$ suy ra: M’N’ // DF

c) Từ chứng minh trên suy ra DF // (MM′N′N)

NN’ // AB nên NN’ // EF

Và NN’ ⊂ (MM’NN’) nên EF // (MM’NN’)

Mà DF, EF ⊂ (DEF) nên (DEF) // (MM′N′N)

Vì MN ⊂ (MM′N′N) và (MM′N′N) // (DEF) nên MN // (DEF).