Cho biểu thức P = x^3 + y^3 – 3(x + y) + 1993. Tính giá trị biểu thức P với

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho biểu thức P = x³ + y³ – 3(x + y) + 1993. Tính giá trị biểu thức P với

$x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}};y=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}$.

Lời giải:

$x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$

⇒ $x^3=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3\sqrt[3]{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(9-4\sqrt{5}\right)}\left(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\right)$

⇒$x^3=18+3x\sqrt[3]{81-80}=18-3x$

$y=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}$

⇒ $y^3=6+3\sqrt[3]{\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)}.\left(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\right)$

⇒ $y^3=6+3y\sqrt[3]{9-8}=6+3y$

Suy ra: y³ – 3y = 6

Khi đó: P = x³ + y³ – 3(x + y) + 1993

⇔ P = x³ + y³ – 3x – 3y + 1993 = 18 + 6 + 1993 = 2017

Vậy P = 2017.