Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a^5 + b^5 + c^5

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 102)

Đề bài. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a⁵ + b⁵ + c⁵ chia hết cho 5.

Lời giải:

a⁵ – a = a(a⁴ – 1) = a(a² – 1)(a² + 1)

= a(a² – 1)(a² – 4 + 5)

= a(a² – 1)(a² – 4) + 5a(a² – 1)

= a(a + 1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) + 5a(a² – 1) chia hết cho 5.

Vì a – 2, a – 1, a, a + 1, a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 5

⇒ a(a + 1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) chia hết cho 5

Mặt khác : 5a(a² – 1) chia hết cho 5

Tương tự có b⁵ – b chia hết cho 5, c⁵ – c chia hết cho 5.

Mà a + b + c = 0

Do đó a⁵ + b⁵ + c⁵ = (a⁵ – a) + (b⁵ – b) + (c⁵ – c) chia hết cho 5