Chứng minh tồn tại vô hạn các số nguyên tố

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Chứng minh tồn tại vô hạn các số nguyên tố.

Lời giải:

Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là p₁; p₂; p₃; …; pn và giả sử p₁ < p₂ < p₃ < …< p_n.

Xét tích A = p₁. p₂. p₃. …p_{n + 1}. Rõ ràng A > p_n nên A là hợp số, do đó A có ít nhất một ước nguyên tố p.

Khi đó p₁; p₂; p₃; …; pn là tất cả các số nguyên tố nên tồn tại I thuộc {1, 2, …, n} sao cho p = p_i.

Như vậy A chia hết cho p; p₁; p₂; p₃; …; pn chia hết cho p nên 1 chia hết cho p, mâu thuẫn.

Do đó, giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là sai.

Vậy có vô hạn các số nguyên tố.