Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + 4MN^2

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Lời giải:

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến:

$A{N}^2=\frac{A{B}^2+A{D}^2}{2}-\frac{B{D}^2}{4}$

⇒ AB² + AD² = 2AN² + (1)

Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến:

$C{N}^2=\frac{C{D}^2+C{B}^2}{2}-\frac{B{D}^2}{4}$

⇒ CB² + CD² = 2CN² + $\frac{B{D}^2}{2}$ (2)

Cộng (1) với (2) ta được: AB² + AD² + CB² + CD² = 2AN² + 2CN² + BD² (3)

Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến:

$M{N}^2=\frac{C{N}^2+A{N}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{4}$

⇒ AN² + CN² = 2MN² + $\frac{A{C}^2}{2}$(4)

Thay (4) vào (3) ta được:

AB² + AD² + CB² + CD² = 2.(2MN² + $\frac{A{C}^2}{2}$ ) + BD² = 4MN² + AC² + BD²

Vậy B² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².