Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 101)

Đề bài. Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Vẽ tia Ax nằm giữa tia AB và tia AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa A và D). Gọi M là trung điểm của dây CD, kẻ BH vuông góc với AO tại H.

a, Tính tích OH.OA theo R.

b, Chứng minh 4 điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.

c, Gọi E là giao điểm của OM với HB. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).

Lời giải:

a) Xét tam giác AMO vuông tại A có AH vuông góc MO

Áp dụng hệ thức lượng: OH.OM = OA² = R²

b) Xét (O) có M là trung điểm CD nên OM vuông góc CD (bán kính vuông góc dây cung)

⇒ $\widehat{OMA}=90°$

Lại có: BA là tiếp tuyến nên $\widehat{OBA}=90°$

Suy ra: M, B thuộc đường tròn đường kính OA

Hay A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.

c) Xét tam giác OHE và tam giác OMA có:

$\widehat{OHE}=\widehat{OMA}=90°$

Chung $\widehat{O}$

⇒ ∆OHE ∽ ∆OMA (g.g)

⇒ $\frac{OH}{OM}=\frac{OE}{OA}\Rightarrow OM.OE=OH.OA=R^2=O{D}^2$

Suy ra: $\frac{OM}{OD}=\frac{OD}{OE}$

Xét tam giác ODE và tam giác OMD có:

$\frac{OM}{OD}=\frac{OD}{OE}$

Chung $\widehat{O}$

⇒ ∆ODE ∽ ∆OMD (c.g.c)

⇒ $\widehat{ODE}=\widehat{OMD}=90°$

Suy ra: OD ⊥ ED mà D thuộc (O) nên ED là tiếp tuyến của (O).