Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 1

Đề bài: Cho x, y thỏa mãn x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 1.

Lời giải:

Ta có: x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0

⟺ (x² + 2xy + y²) + 7(x + y) + 10 = – y²

⟺ (x + y)² + 2(x + y) + 5(x + y) + 10 = – y²

⟺ (x + y)(x + y + 2) + 5(x + y + 2) = – y²

⟺ (x + y + 2)(x + y + 5) = – y²

Vì – y² ≤ 0

Nên (x + y + 2)( x + y + 5) ≤ 0

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}x+y+2\le 0\\ x+y+5\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y\le -2\\ x+y\ge -5\end{array}\right.$

⇒ – 5 ≤ x + y ≤ – 2

⇒ – 4 ≤ x + y + 1 ≤ – 1

Hay – 4 ≤ S ≤ – 1

Nên S đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi $\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y+5=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-5\end{array}\right.$

S đạt giá trị lớn nhất bằng – 1 khi $\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y+2=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy giá trị lớn nhất của S là – 1 khi x = – 2, y = 0; giá trị nhỏ nhất của S là – 4 khi x = – 5, y = 0.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: