Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz.

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz.

Lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.

Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z

⇒ xyz = x + y + z ≤ 3z

⇒ xy ≤ 3

⇒ xy thuộc {1; 2; 3}.

Nếu xy = 1 ⇒ x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.

Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), ⇒ z = 3.

Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), ⇒ z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1; 2; 3).