Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều ABM, ACN phía ngoài tam giác ABC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều ABM, ACN phía ngoài tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AM, AN. Chứng minh tam giác DEF đều.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AB

Ta có: EI là đường trung bình của tam giác AMB

⇒ EI // MB

⇒$\widehat{AEI}=\widehat{AMB}=60°$

Lại có: EI =$\frac{1}{2}MB=AE;ID=\frac{1}{2}AC=AF$

$\widehat{EAF}=360°-2.60°-\widehat{BAC}=240°-\widehat{BAC}$

$\widehat{EID}=360°-120°-\widehat{BID}=240°-\widehat{BAC}$

($\widehat{BID}=\widehat{BAC}$ vì ID // AC)

Xét ∆EID và ∆AEF có:

EI = AE

$\widehat{EID}=\widehat{EAF}$

ID = AF

Suy ra: △EID = △ EAF (c.g.c)

⇒ DE = EF (*) và $\widehat{IED}=\widehat{AEF}$

Mà $\widehat{AEI}=\widehat{IED}+\widehat{DAE}=60°$

⇒ $\widehat{AEF}+\widehat{DAE}=60°$ hay $\widehat{DEF}=60°$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: DEF là tam giác đều.