Cho hình bình hành ABCD hai đường chéo không vuông góc với nhau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD hai đường chéo không vuông góc với nhau. Vẽ điểm E đối xứng với A qua BD. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, E, D là 4 đỉnh của hình thang cân.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, H là giao điểm BD và AE.

Vì E đối xứng với A qua BD nên H là trung điểm của AE.

Xét tam giác ACE có OH là đường trung bình nên OH // CE (O là trung điểm AC, H là trung điểm AE)

Vậy BCED là hình thang.

Xét tam giác ADH và tam giác DHE có:

Chung DH

$\widehat{AHD}=\widehat{DHE}=90°$

AH = HE

Nên: ∆ADH = ∆EDH (c.g.c)

Suy ra: $\widehat{BDE}=\widehat{D_1}$

Mà ABCD là hình bình hành nên: $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (2 góc so le trong)

Lại có: $\widehat{BDE}=\widehat{B_1}\left(=\widehat{D_1}\right)$

Vậy BCED là hình thang cân.