Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB (khác O, B)

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB (khác O, B). Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính BD cắt tiếp tuyến BC tại E.

a) Tứ giác ACED là hình gì?

b) Chứng minh tam giác CEH cân tại H và HE là tiếp tuyến của (I).

Lời giải:

a) ACED là hình thang vuông vì AC // DE (cùng vuông góc với BC)

b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x

Ta có các hệ thức sau:

x + y = R hay HI = R

OH = OA – OH = x + y – x = y

Hay OH = y

Xét tam giác OHC và tam giác EIH có:

OH = IE = y

$\widehat{COH}=\widehat{HIE}$ (đồng vị)

OC = IH = R

⇒ ∆OHC = ∆IEH (c.g.c)

Suy ra: HC = EH hay tam giác HCE cân tại H

Lại có: do ∆OHC = ∆IEH nên $\widehat{OHC}=\widehat{IEH}=90°$

Tức HE vuông góc với IE

Vậy HE là tiếp tuyến của (I).