Giải phương trình: tan^2x + cot^2x = 1+cos^2(3x+ pi/4)

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài. Giải phương trình: tan²x + cot²x = 1 + ${\cos }^2\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$ .

Lời giải:

ĐKXĐ: cosx ≠ 0; sinx ≠ 0

Xét VT = tan²x + cot²x = (tanx – cotx)² + 2 ≥ 2

Lại có ${\cos }^2\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1,\forall x$

⇒$1+{\cos }^2\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2,\forall x$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{l}\tan x=\cot x\\ {\cos }^2\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=1\end{array}\right.$⇔$\left\{\begin{array}{l}\tan x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\\ \sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=0\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi \\ 3x+\frac{\pi }{4}=k\pi \end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\end{array}\right.$ ⇔$x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .