cho số tự nhiên ab bằng 3 lần tích các chữ số của nó. tìm các chữ số ab nói trên

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 97)

Đề bài. Cho số tự nhiên $\overline{ab}$ bằng ba lần tích các chữ số của nó.

a) Chứng minh rằng b chia hết cho a.

b) Gỉa sử b = ka (k thuộc ℕ) chứng minh rằng k là ước của 10.

c) Tìm các số $\overline{ab}$ nói trên.

Lời giải:

a) Theo đề bài có: $\overline{ab}=3ab$

⇔ 10a + b = 3ab (1)

Vì 3ab ⋮ a nên (10a + b) ⋮ a

Mà 10a ⋮ a nên b ⋮ a.

b) Do b = ka mà b < 10 nên ka < 10

Thay b = ka vào (1) ta được:

10a + ka = 3a.ka

⇔ a(10 + k) = 3a².k

⇔ 10 + k = 3ak (*)

Vì 3ak ⋮ k nên 10 + k ⋮ k

Mà k ⋮ k nên 10 ⋮ k

Vậy k là ước của 10.

c) Theo phần b có k là ước của 10 nên k ∈ {1; 2; 5}

Với k = 1 thay vào (*) có: 11 = 3a (loại vì a là số tự nhiên)

Với k = 2 thay vào (*) có: 12 = 6a ⇒ a = 2

b = ka = 2a = 2.2 = 4

Với k = 5 thay vào (*) có: 15 = 15a ⇒ a = 1

b = ka = 5a = 5

Vậy số cần tìm là 24 và 15.