Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn 3x^2 + 6y^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 – 18x = 6

Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn 3x² + 6y² + 2z² + 3y²z² – 18x = 6

Đề bài: Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn 3x² + 6y² + 2z² + 3y²z² – 18x = 6.

Lời giải:

Ta có:

3x² + 6y² + 2z² + 3y²z² – 18x = 6

⇔ (3x² – 18x + 27) + 6y² + 2z² + 3y²z² = 6 + 27

⇔ 3(x – 3)² + 6y² + 2z² + 3y²z² = 33                                 (1)

Vì x, y, z nguyên nên z² ⋮ 3 và 2z² ≤ 33

Hay |z| ≤ 3

Mà z nguyên

Suy ra z = 0 hoặc z = 3

+) TH1: z = 0

(1) ⇔  3(x – 3)² + 6y² = 33       

⇔  (x – 3)² + 2y² = 11

Suy ra 2y² ≤ 11

Do đó |y| ≤ 2

$\iff \left[\begin{array}{l}y=0\\ y=1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{\left(x-3\right)}^2=11\\ {\left(x-3\right)}^2+2=11\end{array}\right.$

⇔  (x – 3)²  + 2 = 11 (vì x nguyên)

⇔  (x – 3)²  = 9 $\iff \left[\begin{array}{l}x-3=3\\ x-3=-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=6\\ x=0\end{array}\right.$

+) TH1: z = 3

(1) ⇔ 3(x – 3)² + 6y² + 2 . 3² + 3y² . 3² = 33                    

⇔  3(x – 3)² + 33y² + 18 = 33

⇔  (x – 3)² + 11y² = 5

Suy ra 11y² ≤ 5

Do đó y = 0

Khi đó  (x – 3)²  = 5 nên không tìm được giá trị x nguyên thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z) là: (0; 1; 0), (0; –1; 0), (6; 1; 0), (6; –1; 0).

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: