Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có sin A/2 = căn (p-b)(p-c)/bc

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}}$ .

Lời giải:

Từ định lý hàm số cosin: b² + c² – 2bc.cosA = a²

⇔(b – c)² + 2bc – 2bc.cosA = a²

⇔ (b – c)² + 2bc(1 – cosA) = a²

⇔ 2bc(1 – cosA) = a² – (b – c)²

⇔ 4bc. ${\sin }^2\frac{A}{2}$= (a – b + c)(a + b – c)

⇔ 4bc.${\sin }^2\frac{A}{2}$ = 4(p – b)(p – c)

⇔ bc.${\sin }^2\frac{A}{2}$ = (p – b)(p – c)

⇔ $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}}$