Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC

a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.

b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có: AM = MN = NC =$\frac{1}{3}AC$

Lại có: ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường. Nên: OA = OC = OB = OD

Mà OA = AM + OM; OC = ON + NC

Suy ra: OM = ON hay O là trung điểm của MN

Xét tứ giác BMDN có:

O là trung điểm MN

O là trung điểm BD

Do đó: BMDN là hình bình hành

b) Ta có: ON + NC = OC

ON + $\frac{1}{3}AC$ =$\frac{1}{2}AC$

ON =$\frac{1}{6}AC$

Suy ra: $\frac{ON}{OC}=\frac{\frac{1}{6}AC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{1}{3}$

Xét tam giác BDC có: O là trung điểm BD nên CO là đường trung tuyến của BDC

Mà $\frac{ON}{OC}=\frac{1}{3};\frac{CN}{CO}=\frac{2}{3}$

Suy ra: N là trọng tâm của tam giác BDC.