Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh $\frac{EB}{FC}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^3$ .

b) Chứng minh BC.BE.CF = AH³.

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

AB.AC = BC.AH ⇒$BC=\frac{AB.AC}{AH}$

* BH² = AB.BE

AB² = BH.BC ⇒ AB⁴ = BH² . BC² = AB.BE.BC²

* CH² = AC.CF

AC² = CH.BC ⇒ AC⁴ = CH² . BC² = AC.CF.BC²

Xét: $\frac{A{B}^4}{A{C}^4}=\frac{AB.BE.B{C}^2}{AC.CF.B{C}^2}=\frac{AB.BE}{AC.CF}$

Suy ra: $\frac{EB}{FC}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^3$

Lại có: BH² = AB.BE ⇒ BE =$\frac{B{H}^2}{AB}$

CH² = AC.CF ⇒ CF =$\frac{C{H}^2}{AC}$

Khi đó: $BE.CF=\frac{B{H}^2}{AB}.\frac{C{H}^2}{AC}=\frac{A{H}^4}{AB.AC}$ (Vì AH² = BH.CH)

Vậy BC.BE.CF =$\frac{AB.AC}{AH}.\frac{A{H}^4}{AB.AC}=A{H}^3$.