Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 838 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh

Đề bài: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh

$\frac{1 + \sqrt{1 + x^{2}}}{x} + \frac{1 + \sqrt{1 + y^{2}}}{y} + \frac{1 + \sqrt{1 + z^{2}}}{z} \leq x y z$

Lời giải:

Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có $\{\begin{cases} 2 x y \leq x^{2} + y^{2} \\ 2 y z \leq y^{2} + z^{2} \\ 2 z x \leq z^{2} + x^{2} \end{cases}$

⇒ 2(xy + yz + zx) ≤ 2(x² + y² + z²)

⇔ xy + yz + zx ≤ x² + y² + z²

⇔ 3(xy + yz + zx) ≤ x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

⇔ 3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)²

$\Leftrightarrow x y + y z + z x \leq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{3}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $\frac{4 + (1 + x^{2})}{2} \geq \sqrt{4 (1 + x^{2})}$

Ta có

$\frac{1 + \sqrt{1 + x^{2}}}{x} = \frac{2 + \sqrt{4 (1 + x^{2})}}{2 x} \leq \frac{2 + \frac{4 + (1 + x^{2})}{2}}{2 x} = \frac{4 + 4 + (1 + x^{2})}{4 x} = \frac{9 + x^{2}}{4 x}$ .

Chứng minh tương tự, ta có $\frac{1 + \sqrt{1 + y^{2}}}{y} \leq \frac{9 + y^{2}}{4 y}$ và $\frac{1 + \sqrt{1 + z^{2}}}{z} \leq \frac{9 + z^{2}}{4 z}$ .

Khi đó

Tài liệu VietJack

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = \sqrt{3}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Tìm m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) x + 1$ đồng biến trên R...

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau...

Cho hàm số $y = x^{3} + m x^{2} + 3 x - 2 m + 5$ (với m là tham số thực). Với giá trị nào của m...

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng...

Với giá trị nào của m để phương trình 4^x - m.2^(x+1) + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm...

Có hai giỏ đựng trứng là giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi giỏ...

Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB...

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ...

Một hình chóp 16 cạnh thì có bao nhiêu mặt...

Với các số a, b > 0 thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 6 a b,$ tính biểu thức...

Với các số a, b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b .$ Hãy chọn đẳng thức đúng sau...

Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau...

Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế...

Đếm số đỉnh, số cạnh của khối đa diện lồi đều như hình vẽ sau...

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a...

By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì...

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By...

Rút gọn $\frac{x^{3} {+ y}^{3} {+ z}^{3} - 3xyz}{{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}}$ ...

Tìm các chữ số a, b, c, d sao cho tổng abc + dba chia hết cho aa và được thương là aa...

Giải phương trình : x⁴- 8x² + x + 12 = 0...

Điểm thuộc đồ thị hàm số y = -2x là...

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài 6 cm, chiều rộng 4 cm...

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh ...

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng ...

Giải phương trình: 1 + sinx + cosx = 2cos(x/2 - pi/4)...

Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa ...

2/3 ngày bằng bao nhiêu giờ ...

Đổi: 4 giờ 30 phút = … giờ ...

4524 – (864 – 999) – (36 + 3999 ...

Công thức tính bài toán sản lượng lớp 5 ...

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 80 m và chiều dài bằng ...

Tính M = căn (1 - (căn 3/2 +căn 3))...

Tính A = (1 + căn 3/2) / (1 + (căn 1 + căn 3/2))...

Trên cùng một hệ trục tọa độ, cho ba đường thẳng (d1), (d2) và (d3 ...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d1): y = –x + 2 và (d2 ...

Giải bất phương trình: x-3 / 2-x <= 0 ...

Giải phương trình: 2x^2 – 8x = –1 ...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 5 điểm có tọa độ là các số nguyên ...

Tìm m để đường thẳng y = mx + 3m + 2 và đường thẳng y = 2x – 1 ...

Cho hình bình hành ABCD, qua C kẻ đường thẳng song song BD cắt AB ở E...

1 838 02/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: