Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ

Đề bài: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu $H_1,H_2$  lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Tính giá trị của  $\frac{V_{\left(H_1\right)}}{V_{\left(H_2\right)}}.$

Lời giải:

Gọi $E=A{C}^{\text{'}}\cap A^{\text{'}}C$  và $F=B{C}^{\text{'}}\cap B^{\text{'}}C.$  Khi đó (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' thành 4 khối đa diện: $CEF{C}^{\text{'}};FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}};FEABC$ và $FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}.$

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Ta có:

$$\begin{gathered} V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{C^{\text{'}\text{'}}.ABC}=\frac{1}{3}V;V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}; \\ {V}_{FEABC}=V_{C.ABC}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}\Rightarrow V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{FEABC}. \end{gathered}$$

Mặt khác: $\frac{V_{CEF{C}^{\text{'}}}}{V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{CE}{C{A}^{\text{'}}}\cdot \frac{CF}{C{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{CEF{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}{V}_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V$

Suy ra 

$V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{FEABC}=V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{12}V=\frac{1}{4}V\Rightarrow V_{FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=V-2.\frac{1}{4}V-\frac{1}{12}V=\frac{5}{12}V.$

Do đó $H_1$  là thể tích lớn nhất của khối đa diện $FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}};H_2$ là thể tích nhỏ nhất của khối đa diện $CEF{C}^{\text{'}}$

Khi đó: $\frac{V_{\left(H_1\right)}}{V_{\left(H_2\right)}}=5.$

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác: