Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a căn 5, AA1 = 2a và = 120°

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁ có AB = a, AC = 2a, AA₁ = 2a$\sqrt{5}$ và = 120°. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh CC₁, BB₁. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A₁BK) bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có: $BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2-2.AC.AB.\cos 120°}=a\sqrt{7}$

A₁B = $\sqrt{A_1{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{21}$

A₁K = $\sqrt{A_1{C_1}^2+C_1{K}^2}=3a$

KB = $\sqrt{K{C}^2+C{B}^2}=2a\sqrt{3}$

d(I; (A₁BK)) = $\frac{1}{2}$ d(B₁; (A₁BK)) = $\frac{1}{2}.\frac{3V_{B_1{A}_{1}AK}}{S_{\Delta A_{1}BK}}$

Mà $V_{B_1{A}_{1}AK}=\frac{1}{2}{V}_{K.A_1{B}_{1}BA}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.V_{ABC.A_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{3}.2a\sqrt{5}.\frac{1}{2}.a.2a.\sin 120°=\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$

Theo công thức Herong, diện tích tam giác A₁BK bằng: $S=\sqrt{p\left(p-2a\sqrt{3}\right)\left(p-3a\right)\left(p-a\sqrt{21}\right)}=3a^2\sqrt{3}$

với $p=\frac{2a\sqrt{3}+3a+a\sqrt{21}}{2}$

Vậy d(I, (A₁BK)) = $\frac{3}{2}.\frac{\frac{a^3\sqrt{15}}{3}}{3a^2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{6}$ .